Question

【題目】已知四邊形ABCD為⊙O的內接四邊形，直徑AC與對角線BD相交于點E，作CH⊥BD于H，CH與過A點的直線相交于點F，∠FAD＝∠ABD．

（1）求證：AF為⊙O的切線；

（2）若BD平分∠ABC，求證：DA＝DC；

（3）在（2）的條件下，N為AF的中點，連接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半徑為2，求EN的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）NE＝

【解析】

（1）欲證明AF為⊙O的切線，只需推知CA⊥AF；

（2）如圖2，連接OD．理由圓周角定理和等量代換推知：∠DOA＝∠DOC，則DA＝DC．

（3）如圖3，連接OD交CF于M，作EP⊥AD于P．構造全等三角形：△ODE≌△OCM，則OE＝OM，設OM＝m，所以AE＝2﹣m，AP＝PE＝2﹣m，DP＝2+m；由△EAN∽△DPE的對應邊成比例推知：＝，所以＝，求出m＝，得到AN＝，AE＝，結合勾股定理得NE＝．

（1）證明：如圖1，∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC＝90°，

∴∠DAC+∠DCA＝90°．

∵，

∴∠ABD＝∠DCA，

∵∠FAD＝∠ABD，

∴∠FAD＝∠DCA，

∴∠FAD+∠DCA＝90°，

∴CA⊥AF，

∴AF為⊙O的切線．

（2）證明：如圖2，連接OD，

∵，

∴∠ABD＝∠AOD，

∵，

∴∠DBC＝∠DOC，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC，

∴∠DOA＝∠DOC，

∴DA＝DC．

（3）如圖3，連接OD交CF于M，作EP⊥AD于P，

∵AC為⊙O的直徑，

∴∠ADC＝90°．

∵DA＝DC，

∴DO⊥AC，

∴∠FAC＝∠DOC＝90°，

∴AF∥OM，

∵AO＝OC，

∴OM＝AF．

∵∠ODE+∠DEO＝90°，∠OCM+∠DEO＝90°．

∴∠ODE＝∠OCM．

∵∠DOE＝∠COM，OD＝OC，

∴∴△ODE≌△OCM，

∴OE＝OM，

設OM＝m，

∴AE＝2﹣m，AP＝PE＝2﹣m，DP＝2+m，

∵∠AED+∠AEN＝135°，∠AED+∠ADE＝135°，

∴∠AEN＝∠ADE，

∵∠EAN＝∠DPE，

∴△EAN∽△DPE，

∴＝，

∴＝，

∴m＝，

∴AN＝，AE＝，

∴勾股定理得NE＝．