Question

如圖，在直角坐標系中，以x軸上一點P（1，0）為圓心的圓與x軸、y軸分別交于A、B、C、D四點，連接CP，∠APC=60度．
（1）求⊙P的半徑R；
（2）求A、B、D三點坐標；
（3）若過弧CB的中點Q作⊙P的切線MN交x軸于M，交y軸于N，求直線MN的解析式．

Answer 1

分析：（1）由圖可知⊙P的半徑就是CP的長，直角三角形OPC中，有P點的坐標，也就有了PO的長，又已知了∠OPC的度數，因此根據三角形函數的知識可以求出CP的長．
（2）有了圓心P的坐標，有了半徑的長，就有了AP，PB的長．根據P的坐標我們可以知道OP的長，那么OA和OB的長就可以求出來了，據此可得出A、B的坐標，在直角三角形OCP中，有OP，PC的長，那么OC的長可以根據勾股定理求出，根據垂徑定理，OD=OC，因此D點的坐標也就求出來了．
（3）本題的關鍵是求出ON，OM的長，連接PQ后，根據Q是BC弧的中點，那么∠CPQ=∠MPQ=60°，因此∠PMQ=30°，MP=2R，（1）中已經求出了R的值，那么MP的值就能求出來了，有P點的坐標，因此可以得出OP的值進而求出OM的長，直角三角形OMN中，∠OMN=30°，MN=2ON，又知道了OM的長，可以根據勾股定理求出ON的長，有了OM，ON的長，M，N的坐標就可以確定，根據M、N的坐標用待定系數法就能求出MN所在直線的解析式．

解答：解：（1）在Rt△POC中，∠APC=60°，
∴∠PCO=30°，PC=2PO=2，
∴⊙P的半徑R是2．

（2）∵AP=BP=2，OA=PA-PO=2-1=1，
∴A（-1，0）、B（3，0），
∵DO=CO=

PC2-OP2

=

22-1

=

3

，
∴D（0，-

3

）．

（3）連接PQ，
∵Q是

BC

的中點，∠APC=60°，∴∠CPQ=∠BPQ=60°．
∵MN切⊙P于Q，
∴PQ⊥MN．
在Rt△PQM中，∠PMQ=30°PM=2PQ=4，
在Rt△MNO中，MN=2ON，
∵MN²=ON²+OM²
∴（2ON）²=ON²+5²得ON=

5 3

3

，
∴M（5，0），N（0，

5 3

3

），
設直線MN的解析式為y=kx+b，
得方程組是：

5k+b=0 b= 5 3 3

，
解這個方程組得：

k=- 3 3 b= 5 3 3

，
所以，直線MN的解析式是：y=-

3

3

x+

5 3

3

．

點評：本題考查了直角三角形，圓與一次函數的綜合應用，本題中用直角三角形來求出坐標軸上的線段的長是解題的關鍵．