Question

【題目】如圖，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，點P為上任意一點（不與點A和D重合），
PQ⊥OD于點Q，點I為△OPQ的內心，過O、I和D三點的圓的半徑為r，則當點P在上運動時，求r的值．

Answer 1

【答案】解：如圖，連OI，PI，DI，
∵△OPH的內心為I，
∴∠IOP=∠IOD，∠IPO=∠IPH，
∴∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH），
而PH⊥OD，即∠PHO=90°，
∴∠PIO=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=180°﹣（180°﹣90°）=135°，
在△OPI和△ODI中，
，
∴△OPI≌△ODI（SAS），
∴∠DIO=∠PIO=135°，
所以點I在以OD為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；
過D、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，
在優弧DO取點P′，連P′D，P′O，
∵∠DIO=135°，
∴∠DP′O=180°﹣135°=45°，
∴∠DO′O=90°，而OD=6，
∴OO′=DO′=3，
∴r的值為3．

【解析】連OI，PI，DI，由△OPH的內心為I，可得到∠PIO=180°﹣∠IPO﹣∠IOP=180°﹣（∠HOP+∠OPH）=135°，并且易證△OPI≌△ODI，得到∠DIO=∠PIO=135°，所以點I在以OD為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過D、I、O三點作⊙O′，如圖，連O′D，O′O，在優弧AO取點P′，連P′D，P′O，可得∠DP′O=180°﹣135°=45°，得∠DO′O=90°，O′O=3 ．
【考點精析】掌握三角形的內切圓與內心是解答本題的根本，需要知道三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心．