Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB為⊙O的直徑，BD⊥AB，交AC的延長線于點D．

（1）E為BD的中點，連結CE，求證：CE是⊙O的切線；

（2）若AC＝3CD，求∠A的大小．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠A＝30°.

【解析】

（1）連接OC，根據等腰三角形的性質得到∠A=∠1，根據三角形的中位線的性質得到OE∥AD，從而得到∠2=∠3，然后證出△COE≌△BOE，根據全等三角形的性質得到∠OCE=∠ABD=90°，于是得到CE是⊙O的切線；
（2）由AB為⊙O的直徑，得到BC⊥AD，根據相似三角形的性質得到BC2=ACCD，再根據AC＝3CD，得到tanA=，于是得到結論．

解：（1）連接OC，

∵BD⊥AB，∴∠ABD＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠1，

∵AO＝OB，E為BD的中點，

∴OE∥AD，

∴∠1＝∠3，∠A＝∠2，

∴∠2＝∠3，

在△COE與△BOE中， ，

∴△COE≌△BOE，

∴∠OCE＝∠ABD＝90°，

∴CE是⊙O的切線；

（2）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵AB⊥BD，∴∠ABD＝∠ACB=90°，

∴∠A+∠ABC=90°，∠ABC+∠CBD=90°

∴∠A＝∠CBD，

∴△ABC∽△BDC，

∴，

∴BC2＝ACCD，

∵AC＝3CD，

∴BC2＝AC2，

∴在R中，tanA＝，

∴∠A＝30°