Question

【題目】如圖1，點A是⊙O外一點．

（1）過點A作⊙O的切線（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）如圖2，設AC是⊙O的切線，點C是切點，已知tan∠A＝，求tan∠ABC的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）如圖，作線段AO的垂直平分線MN交AO于K，以K為圓心，OK為半徑畫弧交⊙O于點C，連接AC，OC，直線AC即為所求；

（2）作CH⊥OA于H．證明∠A=∠OCH，推出tan∠A=tan∠OCH=，設OH=a，CH=2a，則OC=OB=a，在Rt△BCH中，根據tan∠ABC=求解即可．

解：（1）如圖，如圖，作線段AO的垂直平分線MN交AO于K，以K為圓心，OA為半徑畫弧交⊙O于點C，連接AC，OC，直線AC即為所求．

（2）作CH⊥OA于H．

∵AC是⊙O的切線，

∴AC⊥OC，

∴∠ACO＝∠CHO＝90°，

∵∠A+∠AOC＝90°，∠OCH+∠AOC＝90°，

∴∠A＝∠OCH，

∴tan∠A＝tan∠OCH＝＝，設OH＝a，CH＝2a，則OC＝OB＝a，

在Rt△BCH中，tan∠ABC＝．