Question

【題目】如圖，點E、F為菱形ABCD對角線BD的三等分點.

（1）試判斷四邊形AECF的形狀，并加以證明；

（2）若菱形ABCD的周長為52，BD為24，試求四邊形AECF的面積.

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2） 40

【解析】試題分析：（1）根據菱形的對角線互相垂直平分可得AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，再求出BO=OD，然后根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明；
（2）根據菱形的四條邊都相等求出邊長AB，根據菱形的對角線互相平分求出OB，然后利用勾股定理列式求出AO，再求出AC，最后根據菱形的面積等于對角線乘積的一半列式計算即可得解．

試題解析：

（1）四邊形ABCD為菱形．
理由如下：如圖，連接AC交BD于點O，

∵四邊形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC，EO=OF，
又∵點E、F為線段BD的兩個三等分點，
∴BE=FD，
∴BO=OD，
∵AO=OC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴四邊形ABCD為菱形；

（2）∵四邊形ABCD為菱形，且周長為52，
∴AB=13，
∵BD=24，E、F為菱形ABCD對角線BD的三等分點，
∴OB=BD=×24=12,EF=，
由勾股定理得，AO=,

∴AC=2AO=2×5=10，
∴S四邊形AECF=EFAC=×8×10=40．