Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相較于點D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交⊙O于點H，連接BD，FH．

（1）求證：△ABC≌△EBF；

（2）試判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（3）若AB=1，求HGHB的值．

Answer 1

【答案】（1）見試題解析；（2）BD與⊙O相切，理由見試題解析；（3）HGHB=2+．

【解析】

試題分析：（1）由垂直的定義可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，從而證得△ABC≌△EBF；

（2）BD與⊙O相切，如圖1，連接OB證得∠DBO=90°，即可得到BD與⊙O相切；

（3）如圖2，連接CF，HE，有等腰直角三角形的性質得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=+1，有勾股定理解出EF==，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=EF=，通過△BHF∽△FHG，列比例式即可得到結論．

試題解析：（1）證明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，

∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，

在△ABC與△EBF中，，∴△ABC≌△EBF；

（2）BD與⊙O相切，如圖1，連接OB

證明如下：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，

∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，

∴∠DBO=90°，∴BD與⊙O相切；

（3）解：如圖2，連接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，

∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，

∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，

∵BH平分∠CBF，∴，∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，

∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，

∴，∴HGHB=HF2=2+．