Question

 (1)動手操作：
如圖①，將矩形紙片ABCD折疊，使點D與點B重合，點C落在點處，折痕為EF，若∠ABE=20°，那么∠的度數為____________．

(2)觀察發現：
小明將三角形紙片ABC(AB＞AC)沿過點A的直線折疊，使得AC落在AB邊上，折痕為AD，展開紙片(如圖②)；再次折疊該三角形紙片，使點A和點D重合，折痕為EF，展平紙片后得到△AEF(如圖③)．小明認為△AEF是等腰三角形，你同意嗎？請說明理由．

(3)實踐與運用：
將矩形紙片ABCD 按如下步驟操作：將紙片對折得折痕EF，折痕與AD邊交于點E，與BC邊交于點F；將矩形ABFE與矩形EFCD分別沿折痕MN和PQ折疊，使點A、點D都與點F重合，展開紙片，此時恰好有MP=MN=PQ(如圖④)，求∠MNF的大小．

Answer 1

125°；同意；60°．

詳解：(1)∵在Rt△ABE中，∠ABE=20°，
∴∠AEB=70°，∴∠BED=110°，
根據折疊重合的角相等，得∠BEF=∠DEF=55°．
∵AD∥BC，∴∠EFC=125°，
再根據折疊的性質得到∠=∠EFC=125°．
(2)同意．如圖，設AD與EF交于點G．

 
由折疊知，AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD．
由折疊知，∠AGE=∠DGE=90°，
∴∠AGE=∠AGF=90°，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，
即△AEF為等腰三角形．
(3)由題意得出： ∠NMF=∠AMN=∠MNF，
∴MF=NF，由對稱性可知，MF=PF，∴NF=PF，
而由題意得出：MP=MN，MF=MF，
在△MNF和△MPF中，，
∴△MNF≌△MPF(SSS)，
∴∠PMF=∠NMF，而∠PMF+∠NMF+∠MNF=180°，
即3∠MNF=180°，∴∠MNF=60°．