Question

（2011•金東區模擬）在平面直角坐標系xOy中，
探究1：在x軸上有一點A（2，0），如圖1
（1）如果線段OA繞原點O逆時針旋轉90°，則線段OA所經過的扇形區域面積為

3π

．
（2）如果在x軸上還有一點B（4，0），連接AB，求線段AB繞原點O逆時針旋轉90°所經過的區域面積．
探究2：（1）若在x軸上有一點M（2，0），N（2，2），連接MN，求線段MN繞原點O逆時針旋轉90°所經過區域的面積．小明解決這個問題時探究如下：①根據題目要求，畫出所要求面積的圖形2（實線部分）；②發現兩條曲線正好分別是點M、N繞原點逆時針轉90°的兩段弧線；③利用轉化、割補思想把不規范圖形轉化為規范圖形組合（注意虛線部分）．
現請你寫出解答過程．
（2）在坐標系xOy上有點P（2，2）、Q（2，4），若線段PQ繞原點O逆時針旋轉90°，求線段PQ所經過的區域面積．
探究3：在坐標系xOy上有點R（2，0）、S（1，

3

），若線段RS繞原點O逆時針旋轉90°，求線段RS所經過區域的面積（重復經過的區域面積不重復計算）．

Answer 1

分析：探究1、（1）利用扇形的面積公式即可求解；
（2）利用扇形的面積公式求得半徑是OB的扇形的面積，減去半徑是OA的扇形的面積即可；
探究2、（1）利用扇形的面積公式，求出半徑是ON和OM為半徑的扇形的面積，求差即可；
（2）與（1）的解法相同；
探究3、首先求得OS，OR，SR的長，近而求得SR邊上的高，然后利用（2）的方法求解．

解答：解：探究1．（1）OA=2，則線段OA所經過的扇形區域面積為：

90π×22

360

=π；
（2）OB經過的扇形的面積是：

90π×42

360

=4π，
則線段AB繞原點O逆時針旋轉90°所經過的區域面積是4π-π=3π；
探究2．（1）OM=2，則OM所經過的扇形區域面積為：

90π×22

360

=π，
ON=

22+22

=2

2

，則ON所經過的扇形區域面積為：

90π×(2 2 )2

360

=2π，
則線段MN繞原點O逆時針旋轉90°所經過區域的面積是：2π-π=π；
（2）OP=

22+22

=2

2

，則ON所經過的扇形區域面積為：

90π×(2 2 )2

360

=2π，
OQ=

22+42

=2

5

，則OQ所經過的扇形區域面積是：

90π×(2 5 )2

360

=5π，
則線段PQ所經過的區域面積是：5π-2π=3π；
探究3．OR=2，OS=

12+( 3 )2

=2，SR=

(2-1)2+( 3 )2

=2，
則OS=OR=SR，則△OSR是等邊三角形，
則SR邊上的高是：2×

3

2

=

3

，
則線段RS所經過區域的面積是：

90π×22

360

-

90π×( 3 )2

360

=π-

3

4

π=

π

4

．

點評：本題考查了扇形的面積公式以及圖形的旋轉，正確理解題意是關鍵．