Question

24、如圖，AB是⊙O的直徑，C為AB延長線上的一點，CD交⊙O于點D，且∠A=∠C=30°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）請判斷線段AC是BC的多少倍，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由于AB 是直徑，那么∠ADB=90°，而∠A=30°，易求∠ABD=60°，從而易證△BOD實等邊三角形，即∠BOD=60°，又∠C=30°，可求∠ODC=90°，從而可知CD是⊙O切線；
（2）根據弦切角定理可知∠CDB=30°，而∠C=30°，易證BD=BC，而△BOD是等邊三角形，從而有BD=OB，即BC=OB=OA，易得AC=3BC．

解答：解：（1）連接OD．　　　　　　　　　
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD=60°，
又∵∠C=30°，
∴∠ODC=90°，
即OD⊥DC，故DC是⊙O的切線；　　
（2）∵OD⊥DC，且△OBD是等邊三角形，
∴∠C=∠CDB=30°，BD=OB，
∴BD=BC，
∴OB=BC，
∴OB=BC=OA，
∴AC=3BC．

點評：本題考查了等邊三角形的判定和性質、切線的判定和性質、直角三角形中30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半．解題的關鍵是連接OD，并證明△OBD是等邊三角形．