Question

【題目】如圖，已知一次函數y=2x+2的圖象與y軸交于點B，與反比例函數y=的圖象的一個交點為A（1，m），過點B作AB的垂線BD，與反比例函數y=（x＞0）的圖象交于點D（n，﹣2）．

（1）k1和k2的值分別是多少？

（2）直線AB，BD分別交x軸于點C，E，若F是y軸上一點，且滿足△BDF∽△ACE，求點F的坐標．

Answer 1

【答案】（1）4，-16；（2）點F的坐標為（0，﹣8）．

【解析】（1）將A坐標代入一次函數解析式中求出m的值，確定出A的坐標，將A坐標代入反比例函數y=中即可求出k1的值；過A作AM垂直于y軸，過D作DN垂直于y軸，可得出一對直角相等，再由AC垂直于BD，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似得到△ABM與△BDN相似，由相似得比例，求出DN的長，確定出D的坐標，代入反比例函數y=中即可求出k2的值；
（2）在y軸上存在一個點F，使得△BDF∽△ACE，此時F（0，－8），理由為：由y=2x+2求出C坐標，由OB=ON=2，DN=8，可得出OE為△BDN的中位線，求出OE的長，進而利用勾股定理求出AE，CE，AC，BD的長，以及∠EBO=∠ACE=∠EAC，若△BDF∽△ACE，得到比例式，求出BF的長，即可確定出此時F的坐標。

（1）∵點A（1，m）在一次函數y=2x+2的圖象上，∴m=2+2=4，

∵點A（1，4）在反比例函數y=的圖象上，∴k1=1×4=4；

∵BD⊥AB，∴∠BCE+∠BEC=90°，∵∠OCB+∠OBC=90°，∴∠BEC=∠OBC，

∴△BEC∽△OBC，∴．

∵已知一次函數y=2x+2的圖象與y軸交于點B，與x軸交于點C，

∴B（0，2），C（﹣1，0），∴BC==，OB=2，OC=1，∴CE==5，

∴E（4，0）．設直線BD的解析式為y=kx+b，則有，解得：，

∴直線BD的解析式為y=﹣x+2．∵點D（n，﹣2）在直線BD上，

∴﹣2=﹣n+2，解得：n=8，∵點D（8，﹣2）在反比例函數y=（x＞0）的圖象上，

∴k2=8×（﹣2）=﹣16．

（2）∵A（1，4），C（﹣1，0），E（4，0），∴CE=4﹣（﹣1）=5，AE==5，

AC==2，∴∠EAC=∠ECA．

∵∠EBO+∠CBO=90°，∠CBO+∠BCO=90°，∴∠EBO=∠BCO=∠EAC=∠DBF，

∴點F在點B的下方．設點F（0，t），B（0，2），D（8，﹣2），

∴BF=2﹣t，BD==4．∵△BDF∽△ACE，∴，

∴BF=2﹣t==10，解得：t=﹣8．

∴當F是y軸上一點，且滿足△BDF∽△ACE時，點F的坐標為（0，﹣8）．