Question

【題目】如圖：在△ABC中，CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直線EF分別交AB、AC于M、N．
（1）求證：四邊形AECF為矩形；
（2）試猜想MN與BC的關系，并證明你的猜想；
（3）如果四邊形AECF是菱形，試判斷△ABC的形狀，直接寫出結果，不用說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，

∴∠AEC=∠AFC=90°，

又∵CE、CF分別平分∠ACB與它的鄰補角∠ACD，

∴∠BCE=∠ACE，∠ACF=∠DCF，

∴∠ACE+∠ACF= （∠BCE+∠ACE+∠ACF+∠DCF）= ×180°=90°，

∴三個角為直角的四邊形AECF為矩形

（2）解：結論：MN∥BC且MN= BC．

證明：∵四邊形AECF為矩形，

∴對角線相等且互相平分，

∴NE=NC，

∴∠NEC=∠ACE=∠BCE，

∴MN∥BC，

又∵AN=CN（矩形的對角線相等且互相平分），

∴N是AC的中點，

若M不是AB的中點，則可在AB取中點M1，連接M1N，

則M1N是△ABC的中位線，MN∥BC，

而MN∥BC，M1即為點M，

所以MN是△ABC的中位線（也可以用平行線等分線段定理，證明AM=BM）

∴MN= BC；

法二：延長MN至K，使NK=MN，

因為對角線互相平分，

所以AMCK是平行四邊形，KC∥MA，KC=AM因為MN∥BC，

所以MBCK是平行四邊形，MK=BC，

所以MN= BC

（3）解：△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）．

理由：∵四邊形AECF是矩形，

∴AC⊥EF，

∵EF∥AC，

∴AC⊥CB，

∴∠ACB=90°．即△ABC是直角三角形．

【解析】（1）證明三個角是直角即可解決問題；（2）結論：MN∥BC且MN= BC．只要證明MN是△ABC的中位線即可；（3）△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）；
【考點精析】本題主要考查了角平分線的性質定理和菱形的性質的相關知識點，需要掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能正確解答此題．