Question

（2013•杭州一模）如圖1，△ABC內接于半徑為4cm的⊙O，AB為直徑，

BC

長為

4π

3

cm．

（1）計算∠ABC的度數；
（2）將與△ABC全等的△FED如圖2擺放，使兩個三角形的對應邊DF與AC有一部分重疊，△FED的最長邊EF恰好經過

AB

的中點M．求證：AF=AB；
（3）設圖2中以A、C、M為頂點的三角形面積為S，求出S的值．

Answer 1

分析：（1）如圖1，連結OC．利用弧長公式、等腰△OBC的性質來求∠ABC的度數；
（2）如圖2，連結OM，過點F作FH⊥AB于點H．構建矩形OMFH．所以利用矩形的性質、30度角所對的直角邊是斜邊的一半推知FH=

1

2

AF，OM=FH=

1

2

AB．所以AF=AB；
（3）如圖2，連結AM、CM，過點M作MN⊥AC于點N，構造等腰直角△CMN．設MN=NC=x．在Rt△ABC中，利用特殊角的三角函數定義求得AC=4

3

cm．在Rt△AMO中，根據勾股定理求得AM=

MO2+AO2

=4

2

cm．在Rt△AMN中，利用勾股定理知AM²=AN²+MN²，據此可以列出關于x的方程，通過解方程可以求得x的值．最后根據三角形的面積公式來求S的值．

解答：（1）解：如圖1，連結OC．
∵

BC

長為

4π

3

cm，⊙O的半徑為4cm
∴

4×nπ

180

=

4π

3

，
∴n=60，即∠BOC=60°．
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OBC=

180-60

2

=60°；

（2）證明：如圖2，連結OM，過點F作FH⊥AB于點H．
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠A=90°-60°=30°．
∴在Rt△FAH中，FH=

1

2

AF
∵點M為

AB

的中點，
∴OM⊥AB且OM=

1

2

AB，
∴OM∥FH．
∵△ABC與△FED全等，
∴∠A=∠EFD=30°，
∴EF∥AB，
∴四邊形MFOH是矩形，
∴OM=FH=

1

2

AB
∴AF=AB；

（3）如圖2，連結AM、CM，過點M作MN⊥AC于點N．
在Rt△ABC中，AB=8cm，∠A=30°，
∴AC=4

3

cm．
在Rt△AMO中，AM=

MO2+AO2

=4

2

cm．
設MN=x，∵點M是

AB

的中點，
∴∠MCN=

1

2

∠AOM=45°，
∴MN=NC=x．
在Rt△AMN中，AM²=AN²+MN²，即x2+(4

3

-x)2=(4

2

)2，
解得x1=2

3

-2，x2=2

3

+2（舍去）
∴x=2

3

-2
∴S=

1

2

×4

3

×(2

3

-2)=12-4

3

．

點評：本題綜合考查了圓周角定理，垂徑定理，矩形的判定與性質，以及勾股定理等知識．此題難度較大，需要學生系統的運用所學的數學知識來解答．