Question

如圖1，以△ABC邊AB和AC為邊作等邊△ABD和△ACE，連接DC，BE，
（1）判斷BE與DC的數量關系，并求BE與DC的夾角∠EFC的度數；
（2）繼續探索，如圖2，以△ABC的AB和AC為邊作正方形ABEF和ACGH，連接FC、BH，判斷FC和BH的數量關系，并求出此時FC與BH的夾角；

（3）如圖3中M、N分別是BC、FH的中點，P、Q分別是正方形的中心，順次連接MPNQ，判斷四邊形MPNQ的形狀并證明．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，再求出∠BAE=∠DAC，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADC全等，根據全等三角形對應邊相等可得BE=DC，全等三角形對應角相等可得∠AEB=∠ACD，然后∠FEC+∠FCE=120°，再根據三角形內角和定理計算即可得解；
（2）根據正方形的性質可得AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，再求出∠BAH=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△ABH和△AFC全等，根據全等三角形對應邊相等可得BH=FC，全等三角形對應角相等可得∠AFC=∠ABH，然后∠EFC+∠EBH=180°，設BH、CF相交于點G，再根據四邊形的內角和定理計算即可求出∠BGF=90°，根據垂線的定義即可得證；
（3）根據正方形的對角線互相平分可得點P、Q分別是BF、CH的中點，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得PN∥BH，PN=

1

2

BH，MQ∥BH，MQ=

1

2

BH，NQ∥CF，NQ=

1

2

CF，PM∥CF，PM=

1

2

CF，再根據（2）的結論可得BH=CF，BH⊥CF，然后求出MP=PN=NQ=MQ，從而判定四邊形MPNQ是菱形，再根據BH⊥CF求出PN⊥NQ，根據有一個角是直角的菱形是正方形證明．

解答：解：（1）∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，
∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，
即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，

AB=AD ∠BAE=∠DAC AE=AC

，
∴△ABE≌△ADC（SAS），
∴BE=DC，∠AEB=∠ACD，
∴∠FEC+∠FCE=∠ACE+∠AEC=60°+60°=120°，
∴∠EFC=180°-（∠FEC+∠FCE）=180°-120°=60°；
故BE=DC，∠EFC的度數為60°；

（2）在正方形ABEF和ACGH中，AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，
∴∠BAF+∠BAC=∠CAH+∠BAC，
即∠BAH=∠CAF，
在△ABH和△AFC中，

AB=AF ∠BAH=∠CAF AC=AH

，
∴△ABH≌△AFC（SAS），
∴BH=FC，∠AFC=∠ABH，
∴∠EFC+∠EBH=∠EFA+∠EBA=90°+90°=180°，
設BH、CF相交于點G，
則∠EGF=360°-180°-90°=90°，
∴BH⊥FC，
故BE=DC且BH與FC的夾角為90°；

（3）四邊形MPNQ為正方形．理由如下：
∵P、Q分別是正方形的中心，
∴P、Q分別是BF、CH的中點，
∵M、N分別是BC、FH的中點，
∴PN∥BH，PN=

1

2

BH，MQ∥BH，MQ=

1

2

BH，NQ∥CF，NQ=

1

2

CF，PM∥CF，PM=

1

2

CF，
根據（2）的結論，BH=CF，BH⊥CF，
∴MP=PN=NQ=MQ，
∴四邊形MPNQ是菱形，
∵BH⊥CF，PN∥BH，NQ∥CF，
∴PN⊥NQ，
∴菱形MPNQ是正方形，
故四邊形MPNQ為正方形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，正方形的性質，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質，準確識圖并熟記各性質是解題的關鍵，此類題目最大的特點是各小題所用的思路都相同．