Question

（2013•河南模擬）如圖1，△ABC和△DEC是兩個完全重合在一起的等腰直角三角形．現將△ABC固定，將△DEC繞點C按順時針方向旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜135°），過點D作DF∥AB交BE的延長線于點F，連接AF、BD．
（1）如圖2，當α=90°時，四邊形ABDF的形狀為

平行四邊形

；
（2）如圖3，當0°＜α≤135°時，（1）中的結論是否仍然成立？說明理由；
（3）若AB=1，當α從45°變化到135°的過程中，線段DF掃過區域的面積是多少？試說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用已知得出AB=DF，進而利用平行四邊形的判定得出即可；
（2）利用已知首先得出∠DEF+∠BEC=90°，進而求出∠DEF=∠DFE，即可得出DF=AB，進而得出答案；
（3）分別根據當α=135°時，當α=45°時，得出當α從45°變化到135°的過程中，DF始終和AB平行且相等，則DF掃過區域的面積可利用割補的方法轉化成矩形OCD′F′的面積，進而得出答案．

解答：解：（1）當α=90°時，如圖2所示：
∵△ABC和△DEC是兩個完全重合在一起的等腰直角三角形，
∴AB∥EC，BC=EC，
∴∠DEF=∠BEC=45°，
∴DF=DE，
∴AB=DF，
又∵AB∥DF，
∴四邊形ABDF的形狀為平行四邊形；
故答案為：平行四邊形；

（2）（1）中結論仍然成立，
理由：∵DF∥AB，
∴∠ABF=∠DFE，
∵∠CED=90°，
∴∠DEF+∠BEC=90°，
又∵CB=CE，
∴∠EBC=∠BEC，
又∵∠EBC+∠ABF=90°，
∴∠DEF=∠ABF，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DE=DF，
又∵DE=AB，
∴DF=AB，
又∵DF∥AB，
∴四邊形ABDF是平行四邊形；

（3）如圖，當α=135°時，D、E、F分別落到D′、E′、F′的位置，B、C、D′三點共線，
此時平行四邊形ABD′F′是矩形；
當α=45°時，由題意知此時F、D、C三點共線，設CD與AF′交于點O，則四邊形OCD′F′是矩形；
∵當α從45°變化到135°的過程中，DF始終和AB平行且相等，
則DF掃過區域的面積可利用割補的方法轉化成矩形OCD′F′的面積，
由題意知D′C=AC=

2

AB=

2

，此時矩形OCD′F′的面積為：CD′×D′F′=

2

，
故DF掃過的面積為：

2

．

點評：此題主要考查了幾何變換綜合以及平行四邊形的判定和圖形的旋轉以及等腰直角三角形的性質等知識，利用數形結合得出四邊形形狀是解題關鍵．