Question

“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形．如圖，是一“趙爽弦圖”飛鏢板，其直角三角形的短直角邊的長為1．這直角三角形都用很細的金屬絲圍成，飛鏢不會扎在這些金屬絲上．小明同學距飛鏢板一定距離向飛鏢板投擲飛鏢（假設投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上），則投擲一次飛鏢扎在中間小正方形黑色區域的概率是．
（1）求直角三角形的長直角邊的長；
（2）連續以同樣的要求向飛鏢板投擲兩支飛鏢，求投中位置為一黑一白的概率．（請結合樹狀圖或列表加以解答）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據幾何概率的意義，表示出小正方形的面積，再求出大正方形的面積，根據投擲一次飛鏢扎在中間小正方形黑色區域的概率是，即可得出長直角邊的值；
（2）根據投擲一次飛鏢扎在中間小正方形黑色區域的概率是，可以列出圖表得出連續以同樣的要求向飛鏢板投擲兩支飛鏢，投中位置為一黑一白的概率．
解答：（1）解：∵“趙爽弦圖”是四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形．其直角三角形的短直角邊的長為1，
∴設長的直角邊為x，則小正方形的面積為（x-1）²，
∴陰影部分面積為：（x-1）²，
∵投擲一次飛鏢扎在中間小正方形黑色區域的概率是，
∴大正方形面積為：（1+x ²），
∴5（x-1）²=1+x ²，
解得：x₁=0.5（不合題意舍去），x₂=2，
∴直角三角形的長直角邊的長為：2；

（2）根據題意得出，如圖所示：

	黑	白	白	白	白
黑	黑黑	黑白	黑白	黑白	黑白
白	黑白	白白	白白	白白	白白
白	黑白	白白	白白	白白	白白
白	黑白	白白	白白	白白	白白
白	黑白	白白	白白	白白	白白

∴連續以同樣的要求向飛鏢板投擲兩支飛鏢，投中位置為一黑一白的概率為：．
點評：此題主要考查了幾何概率的求法以及勾股定理的應用，根據題意將求出大正方形的面積進而求出另一直角邊的長是解決問題的關鍵．