Question

（2012•房山區一模）已知：如圖，M是AB的中點，以AM為直徑的⊙O與BP相切于點N，OP∥MN．
（1）求證：直線PA與⊙O相切；
（2）求tan∠AMN的值．

Answer 1

分析：（1）連接ON，根據切線的性質可以得到∠PNO=90°，然后證明△AOP≌△NOP，則可以得到：∠OAP=∠ONP=90°，則結論得證；
（2）根據∠POA=∠AMN，則可以轉化成求∠POA得正切值，然后根據正切的定義求PA與OA的比值即可．

解答：（1）證明：連接ON，
∵BP與⊙O相切于點N，
∴ON⊥BP，∠ONP=90°．…（1分）
∵MN∥OP，
∴∠OMN=∠AOP，∠MNO=∠NOP．
又∵∠OMN=∠MNO，
∴∠AOP=∠NOP．
又∵OA=ON，OP公用，
∴△AOP≌△NOP．
∴∠OAP=∠ONP=90°．
∴直線PA與⊙O相切．…（2分）．

（2）解：設⊙O的直徑是2r．
∵M是AB的中點，∴BM=2r，OB=3r．
∴BN=

OB2-ON2

=

8r2

=2

2

r．…（3分）
∵∠PAB=∠ONB=90°，
∴△PAB∽△ONB．
∴

PA

ON

=

AB

NB

=

4r

2 2r

=

2

．…（4分）
∴tan∠AMN=tan∠AOP=

PA

OA

=

PA

ON

=

2

．…（5分）

點評：本題考查了切線的判定，以及三角函數，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．