Question

【題目】如圖，在△ABC中，DE是邊AB的垂直平分線，交AB于E、交AC于D，連接BD．

（1）若∠ABC=∠C，∠A=40°，求∠DBC的度數；
（2）若AB=AC，且△BCD的周長為18cm，△ABC的周長為30cm，求BE的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵∠ABC=∠C，∠A=40°，

∴∠ABC=（180°﹣40°）÷2=70°．

∵DE是邊AB的垂直平分線，

∴AD=DB，

∴∠ABD=∠A=40°，

∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°

（2）解：∵DE是邊AB的垂直平分線，

∴AD=DB，AE=BE，

∵△BCD的周長為18cm，

∴AC+BC=AD+DC+BC=DB+DC+BC=18cm．

∵△ABC的周長為30cm，

∴AB=30﹣（AC+BC）=30﹣18=12cm，

∴BE=12÷2=6cm

【解析】（1）首先計算出∠ABC的度數，再根據線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等可得AD=BD，進而可得∠ABD=∠A=40°，然后可得答案；（2）根據線段垂直平分線的性質可得AD=DB，AE=BE，然后再計算出AC+BC的長，再利用△ABC的周長為30cm可得AB長，進而可得答案．
【考點精析】關于本題考查的三角形的內角和外角和線段垂直平分線的性質，需要了解三角形的三個內角中，只可能有一個內角是直角或鈍角；直角三角形的兩個銳角互余；三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和；三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角；垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質定理：線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等才能得出正確答案．