Question

【題目】如圖：五邊形ABCDE中，AB∥CD，BC⊥AB，AB=BC=8，CD=5．

（1）說明∠A，∠E，∠D之間的數量關系；

（2）平移五邊形ABCDE，使D點移動到C點，畫出平移后的五邊形A'B'C'CE'，并求出順次連接A、A'、E'、C、D、E、A各點所圍成的圖形的面積；

（3）在∠BAE和∠E'CD的內部取一點F，使∠EAF=∠EAB，∠FCE'=∠DCE' ，求∠AFC與∠AED之間的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）∠A+∠E+∠D=360°；（2）40；（3）∠AED=∠AFC－90°．

【解析】

（1）根據∠B、∠C的度數和多邊形內角和公式即可得出結論；

（2）過E作EM⊥BC于M．由平移的性質可知：E′在EM上，四邊形AA'E'E和四邊形E'CDE是平行四邊形，多邊形AA'E'CDE的面積=四邊形AA'E'E的面積+四邊形E'CDE的面積，根據平行四邊形的面積計算公式代入即可得出結論；

（3）過F作FM∥AB．設∠EAF=x，∠E'CF=y，根據平行線的性質可得：x－y=90°－∠AFC．由（1）得：∠AED=180°－3（x-y），代入即可得出結論．

（1）∵五邊形的內角和=（5-2）×180°=540°，∠B=∠C=90°，∴∠A+∠E+∠D=540°－90°－90°=360°；

（2）作圖如圖1．過E作EM⊥BC于M．由平移的性質可知：E′在EM上，四邊形AA'E'E和四邊形E'CDE是平行四邊形，∴AA'=EE'=DC=5，多邊形AA'E'CDE的面積=四邊形AA'E'E的面積+四邊形E'CDE的面積=AA'×BM+DC×MC=DC×（BM+MC）=DC×BC=5×8=40．

（3）如圖2，過F作FM∥AB．設∠EAF=x，∠E'CF=y，則∠FAB=2x，∠EAB=3x，∠FCD=2y，∠E'CD=3y．

∵FM∥AB，AB∥DC，∴∠FAB+∠AFM=180°，FM∥DC，∴∠MFC=∠FCD=2y，∴∠AFC=∠AFM+∠CFM=180°－2x+2y=180°－2（x－y），∴x－y==90°－∠AFC．

由（1）得：∠AED=360°－（∠EAB+∠EDC）=360°-（3x+180°－3y）=180°－3（x-y），∴∠AED=180°－3（90°－∠AFC）=∠AFC－90°．