Question

【題目】（1）問題：如圖在中，，，為邊上一點（不與點，重合），連接，過點作，并滿足，連接．則線段和線段的數量關系是_______，位置關系是_______．

（2）探索：如圖，當點為邊上一點（不與點，重合），與均為等腰直角三角形，，，．試探索線段，，之間滿足的等量關系，并證明你的結論；

（3）拓展：如圖，在四邊形中，，若，，請直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1）=；⊥；（2）+=；（3）2

【解析】

（1）根據同角的余角相等得出∠BAD=∠CAE，可證△ADB≌△AEC，由全等三角形的性質即可得出結果；

（2）連結CE，同（1）的方法證得△ADB≌△AEC，根據全等三角形的性質轉換角度，可得△DCE為直角三角形，即可得，，之間滿足的等量關系；

（3）在AD上方作EA⊥AD，連結DE，同（2）的方法證得△DCE為直角三角形，由已知和勾股定理求得DE的長，再根據等腰直角三角形的性質和勾股定理即可求得AD的長．

解：=，⊥，理由如下：

∵，，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵，

∴，

∴，即，

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，

∴∠ACB+∠ACE=90°，即⊥，

故答案為：=；⊥．

（2）+=，證明如下：

如圖，連結CE，

∵與均為等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ACB=45°，，即，

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD=CE，∠ABD=∠ACE=45°，

∴∠ACB+∠ACE=90°，即⊥，則△DCE為直角三角形，

∴+=，

∴+=；

（3）如圖，作EA⊥AD，使得AE=AD，連結DE、CE，

∵，

∴，AB=AC，

∵，AE=AD，

∴，，

∴，即，

在△ADB和△AEC中，

，

∴△ADB≌△AEC（SAS），

∴BD=CE，

∵，則△DCE為直角三角形，

∵，，

∴，則，

在Rt△ADE中，AD=AE，

∴，

則．