Question

【題目】如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，作∠ABC的平分線交AC于點D，在AB上取點O，以點O為圓心經過B、D兩點畫圓分別與AB、BC相交于點E、F（異于點B）．

（1）求證：AC是⊙O的切線；

（2）若點E恰好是AO的中點，求的長；

（3）若CF的長為，①求⊙O的半徑長；②點F關于BD軸對稱后得到點F′，求△BFF′與△DEF′的面積之比．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）①r1＝1，；②△BFF'與△DEF'的面積比為或

【解析】

（1）連結，證明，得出，則結論得證；

（2）求出，，連結，則，由弧長公式可得出答案；

（3）①如圖3，過作于，則，四邊形是矩形，設圓的半徑為，則．，證明，由比例線段可得出的方程，解方程即可得出答案；

②證明，當或時，根據相似三角形的性質可得出答案．

解：（1）連結DO，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABD，

∵DO＝BO，

∴∠ODB＝∠OBD，

∴∠CBD＝∠ODB．

∴DO∥BC，

∵∠C＝90°，

∴∠ADO＝90°，

∴AC是⊙O的切線；

（2）∵E是AO中點，

∴AE＝EO＝DO＝BO＝，

∴sin∠A＝，

∴∠A＝30°，∠B＝60°，

連結FO，則∠BOF＝60°，

∴＝．

（3）①如圖3，連結OD，過O作OM⊥BC于M，

則BM＝FM，四邊形CDOM是矩形

設圓的半徑為r，則OA＝5﹣r．BM＝FM＝r﹣，

∵DO∥BC，

∴∠AOD＝∠OBM，

而∠ADO＝90°＝∠OMB，

∴△ADO∽△OMB，

∴，

即，

解之得r1＝1，．

②∵在（1）中∠CBD＝∠ABD，

∴DE＝DF，

∵BE是⊙O的直徑，

∴∠BDE＝90°，

而F、F'關于BD軸對稱，

∴BD⊥FF'，BF＝BF'，

∴DE∥FF'，

∴∠DEF'＝∠BF'F，

∴△DEF'∽∠BFF'，

當r＝1時，AO＝4，DO＝1，BO＝1，

由①知，

，

，

，

，

，

，

與的面積之比，

同理可得，當時．時，與的面積比．

與的面積比為或．