Question

【題目】如圖 1，二次函數的圖像過點 A （3，0），B （0，4）兩點，動點 P 從 A 出發，在線段 AB 上沿 A → B 的方向以每秒 2 個單位長度的速度運動，過點P作 PD⊥y 于點 D ，交拋物線于點 C ．設運動時間為 t （秒）．

（1）求二次函數的表達式；

（2）連接 BC ，當t＝時，求△BCP的面積；

（3）如圖 2，動點 P 從 A 出發時，動點 Q 同時從 O 出發，在線段 OA 上沿 O→A 的方向以 1個單位長度的速度運動，當點 P 與 B 重合時，P 、 Q 兩點同時停止運動，連接 DQ 、 PQ ，將△DPQ沿直線 PC 折疊到 △DPE ．在運動過程中，設 △DPE 和 △OAB重合部分的面積為 S ，直接寫出 S 與 t 的函數關系式及 t 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）4；（3）．

【解析】

試題分析：（1）直接將A、B兩點的坐標代入列方程組解出即可；

（2）如圖1，要想求△BCP的面積，必須求對應的底和高，即PC和BD；先求OD，再求BD，PC是利用點P和點C的橫坐標求出，要注意符號；

（3）分兩種情況討論：①△DPE完全在△OAB中時，即當時，如圖2所示，重合部分的面積為S就是△DPE的面積；②△DPE有一部分在△OAB中時，當時，如圖4所示，△PDN就是重合部分的面積S．

試題解析：（1）把A（3，0），B（0，4）代入中得：

，解得：，∴解析式為：；

（2）如圖1，當時，AP=2t，∵PC∥x軸，∴，∴，∴OD===，當y=時，=，，解得：，，∴C（﹣1，），由，得，則PD=2，∴S△BCP=×PC×BD==4；

（3）分兩種情況討論：①如圖3，當點E在AB上時，由（2）得OD=QM=ME=，∴EQ=，由折疊得：EQ⊥PD，則EQ∥y軸，∴，∴，∴t=，同理得：PD=，∴當時，S=S△PDQ=×PD×MQ=，；

②當時，如圖4，P′D′=，點Q與點E關于直線P′C′對稱，則Q（t，0）、E（t，），∵AB的解析式為：，D′E的解析式為：，則交點N（，），∴S=S△P′D′N=×P′D′×FN=，∴．

綜上所述：．