Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2經(jīng)過點A（1，0）和點B（4，0），與y軸交于點C．
附：閱讀材料
法國弗朗索瓦韋達最早發(fā)現(xiàn)一元二次方程中根與系數(shù)的關系為：兩根之和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)之比的相反數(shù)，兩根之積等于常數(shù)項羽二次項系數(shù)之比，人們稱之為韋達定理．
即：設一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2 ， 則：x1+x2=﹣ ，x1x2= 能靈活運用韋達定理，有時可以使解題更為簡單．

（1）求拋物線的解析式；
（2）以點A為圓心，作于直線BC相切的⊙A，求⊙A的面積；
（3）將直線BC向下平移n個單位后與拋物線交于點M、N，且線段MN=2CB，求直線MN的解析式及平移距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣4），

即y=ax2﹣5ax+4a，

∴4a=﹣2，解得a=﹣ ，

∴拋物線解析式為y=﹣ x2+ x﹣2；

（2）

解：作AD⊥BC于D，如圖，當x=0時，y=﹣ x2+ x﹣2=﹣2，則C（0，﹣2），

BC= =2 ；

∵∠ABD=∠CBO，

∴Rt△BAD∽Rt△BCO，

∴ = ，即 = ，

∴AD= ，

∵直線BC相切的⊙A，

∴AD為⊙A的半徑，

∴⊙A的面積=π（ ）2= π；

（3）

解：設直線BC的解析式為y=kx+m，

把B（4，0），C（0，﹣2）代入得 ，解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣2，

設直線MN的解析式為y= x+t，M（x1，y1），N（x2，y2），

則x1、x2為方程﹣ x2+ x﹣2= x+2t的兩根，

方程整理為x2﹣4x+2t+4=0，

∴x1+x2=4，x1x2=2t+4，

∵y1﹣y2= x1+t﹣（ x2+t）= （x1﹣x2），

∴MN= = = = = ，

∵MN=2CB，

∴ =4 ，解得t=﹣8，

∴直線MN的解析式為y= x﹣8，

∴將直線BC向下平移6個單位得到直線MN，即平移的距離為6．

【解析】（1）設交點式y(tǒng)=a（x﹣1）（x﹣4），即y=ax2﹣5ax+4a，然后利用4a=﹣2求出a即可得到拋物線解析式；（2）作AD⊥BC于D，如圖，先確定C（0，﹣2），計算出BC=2 ，再證明Rt△BAD∽Rt△BCO，利用相似比可計算出AD= ，然后利用切線的性質得到圓的半徑為AD，再利用圓的面積公式求解；（3）先利用待定系數(shù)法確定直線BC的解析式為y= x﹣2，則可設直線MN的解析式為y= x+t，M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），利用兩函數(shù)的交點問題得到x1、x2為方程﹣ x2+ x﹣2= x+2t的兩根，利用根與系數(shù)的關系得x1+x2=4，x1x2=2t+4，則y1﹣y2= （x1﹣x2），接著利用兩點間的距離公式和完全平方公式得到MN= = ，所以 =4 ，解方程得到t的值，從而得到直線MN的解析式，然后利用直線平移的規(guī)律確定平移的距離．
【考點精析】本題主要考查了根與系數(shù)的關系和確定一次函數(shù)的表達式的相關知識點，需要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數(shù)a、b、c而定；兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項除以二次項系數(shù)所得的商；確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法才能正確解答此題．