Question

【題目】如圖，CD為⊙O的直徑，點B在⊙O上，連接BC、BD，過點B的切線AE與CD的延長線交于點A，OE∥BD，交BC于點F，交AE于點E．

（1）求證：△BEF∽△DBC．

（2）若⊙O的半徑為3，∠C=30°，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BE=3．

【解析】

（1）連接OB，根據切線的性質可得出∠ABO=90°，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根據等角的余角相等可得出∠EBF=∠CDB，根據平行線的性質結合直徑對的圓周角為90度，即可得出∠EFB=∠CBD=90°，進而即可證出△BEF∽△DCB；

（2）通過解直角三角形可得出BD、BC的長，由三角形中位線定理可得出BF的長，再利用相似三角形的性質即可求出BE的長．

（1）證明：連接OB，如圖所示．

∵AE與⊙O相切，

∴∠ABO=90°．

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB．

∵∠ABO=∠ABD+∠OBD=90°，

∴∠ODB+∠ABD=90°．

∵CD為直徑，

∴∠CBD=90°，

∴∠EBF+∠ABD=90°，

∴∠EBF=∠ODB，即∠EBF=∠CDB．

∵OE∥BD，

∴∠CFO=90°，

∴∠EFB=∠CBD=90°，

∴△BEF∽△DCB．

（2）解：在Rt△BCD中，∠CBD=90°，∠C=30°，CD=6，

∴BD=3，BC=3．

∵OE∥BD，點O為CD的中點，

∴OF為△BCD的中位線，

∴OF=BD=，BF=BC=．

∵△BEF∽△DCB，

∴，即，

∴BE=．