Question

【題目】下表中給出了變量x與ax2，ax2+bx+c之間的部分對應值(表格中的符號“…”表示該項數據已經丟失)

x	-1	0	1
ax	…	…	1
ax+ bx + c	7	2	…

（1）寫出這條拋物線的開口方向，頂點D的坐標；并說明它的變化情況；

（2）拋物線的頂點為D，與y軸的交點為A，點M是拋物線對稱軸上的一點，直線AM交對稱軸右側的拋物線于點B，當△ADM與△BDM的面積比為2：3時，求點B的坐標：

（3）在（2）的條件下，設線段BD交x軸于點C，試寫出∠BAD與∠DCO的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1），開口向上，,變化情況見解析；（2）；（3），理由見解析

【解析】

（1）根據（1，1）在拋物線y=ax2上可求出a值，再由（-1，7）、（0，2）在拋物線y=x2+bx+c上可求出b、c的值，即可得到答案；
（2）根據△ADM和△BDM同底可得出兩三角形的面積比等于高的比，結合點A的坐標即可求出點B的橫坐標，再利用二次函數圖象上點的坐標特征即可求出點B的坐標；
（3）利用二次函數圖象上點的坐標特征可求出A、D的坐標，過點A作AN∥x軸，交BD于點N，則∠AND=∠DCO，根據點B、D的坐標利用待定系數法可求出直線BD的解析式，利用一次函數圖象上點的坐標特征可求出點N的坐標，利用兩點間的距離公式可求出BA、BD、BN的長度，由三者間的關系結合∠ABD=∠NBA，可證出△ABD∽△NBA，根據相似三角形的性質可得出∠ANB=∠DAB，再由∠ANB+∠AND=180°可得出∠DAB+∠DCO=180°．

解：（1）當x=1時，y=ax2=1，
解得：a=1；
將（-1，7）、（0，2）代入y=x2+bx+c，得：

，

解得： ，

∴拋物線的表達式為或，
∴該拋物線的開口向上，頂點D（2，-2），

變化情況：在對稱軸 的左邊y隨x的增大而減小，再對稱軸的右邊y隨x的增大而增大；

（2）∵△ADM和△BDM同底，且△ADM與△BDM的面積比為2：3，
∴點A到拋物線的距離與點B到拋物線的距離比為2：3．
∵拋物線的對稱軸為直線x=2，點A的橫坐標為0，
∴點B到拋物線對稱軸的距離為3，
∴點B的橫坐標為3+2=5，
∴點B的坐標為（5，7）．

（3）∠BAD+∠DCO=180°，理由如下：
當x=0時，，
∴點A的坐標為（0，2），
∵，
∴點D的坐標為（2，-2）．
過點A作AN∥x軸，交BD于點N，則∠AND=∠DCO，如圖所示．

設直線BD的表達式為y=mx+n（m≠0），
將B（5，7）、D（2，-2）代入y=mx+n，

得到： ，

解得： ，

∴直線BD的表達式為y=3x-8．
當y=2時，有3x-8=2，

解得： ，

∵A（0，2），B（5，7），D（2，-2），

∴ ，

∴ ，

又∵∠ABD=∠NBA，
∴△ABD∽△NBA，
∴∠ANB=∠DAB．
∵∠ANB+∠AND=180°，
∴∠DAB+∠DCO=180°．