Question

【題目】已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE平分∠ACB交AB于點E。

（1）∠B= 度．

（2）如圖9，若點D在斜邊BC上，DM垂直平分BE，垂足為M。求證：BD=AE；

（3）如圖10，過點B作BF⊥CE，交CE的延長線與點F。若CE=6，求△BEC的面積。

Answer 1

【答案】（1）45°，（2）證明見解析；（3）4．

【解析】

【試題分析：（1）連接DE，由∠BAC=90°，AB=AC，可得∠B=45°，

（2）由DM垂直平分BE，可得BD=DE，進而判斷△BDE是等腰直角三角形，所以ED⊥BD，然后由角平分線的性質可得ED=AE，根據等量代換可得BD=AE；

（3）延長BF，CA，交與點G，由CE平分∠ACB，可得∠ACE=∠BCE，由BF⊥CE，可得∠BFC=∠GFC=90°，然后由三角形內角和定理可得：∠GBC=∠G，進而可得BC=GC，然后由等腰三角形的三線合一，可得BF=FG=BG，所以BG=2BF=2FG=4，然后再由ASA，可證△ACE≌△ABG，可得EC=BG=4，最后根據三角形的面積公式即可求△BEC的面積．

試題解析：（1）連接ED，如圖1，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

（2）∵DM垂直平分BE，

∴BD=DE，

∴∠BED=∠EBD=45°，

∴∠EDC=∠EBD+∠BED=90°，

∵CE平分∠ACB，∠BAC=90°，∠EDC=90°，

∴ED=EA，

∴BD=AE；

（3）延長BF，CA，交與點G，如圖2所示，

∵CE平分∠ACB，

∴∠ACE=∠BCE，

∵BF⊥CE，

∴∠BFC=∠GFC=90°，

∴∠GBC=∠G，

∴BC=GC，

∴BF=FG=BG，

即BG=2BF=4，

∵∠GFC=∠GAB=90°，

∴∠ACF+∠BGC=90°，∠ABG+∠BGC=90°，

∴∠ACF=∠ABG，

在△ACE和△ABG中，

，

∴△ACE≌△ABG（SAS），

∴BG=CE，

∴EC=2BF=4，

∴S△ECB=CEBF=×4×2=4．