Question

【題目】D為等邊△ABC的邊AC上一點，E為直線AB上一點，CD＝BE．

（1）如圖1，求證：AD＝DE；

（2）如圖2，DE交CB于點F．

①若DE⊥AC，CF＝6，求BF的長；

②求證：DF＝EF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①3；②證明見解析

【解析】

（1）根據等邊三角形的性質可得AB=AC，∠A=60°，由CD=BE，利用線段的和差關系可得AD=AE，即可證明△ADE是等邊三角形，可得AD=DE；（2）①由DE⊥AC可得∠CFD=30°，根據含30°角的直角三角形的性質可求出CD的長，可得BE的長，根據∠BFE＝∠CFD＝30°，∠E＝30°，可得BF=BE，即可得答案；②過點D作DG∥AB，交CB于點G，可得∠CGD＝∠ABC＝60°，∠GDF＝∠E，由∠C=60°可證明△CDG是等邊三角形，可得CD=DG，進而可得DG＝BE，利用AAS可證明△GDF≌△BEF，即可得DF=EF.

（1）∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝AC，∠A＝60°，

∵CD＝BE，

∴AC=CD=AB-BE，即AD＝AE，

∴△ADE是等邊三角形，

∴AD＝DE；

（2）①∵DF⊥AC，

∴∠CDF＝90°，

∵∠C＝60°，

在Rt△CDF中，∠CFD＝30°，

∴CD=CF=×6=3，

∵CD＝BE，

∴BE＝3，

∵∠BFE＝∠CFD＝30°，∠E＝30°，

∴BE＝BF，

∴BF＝3；

②如圖，過點D作DG∥AB，交CB于點G，

∴∠CGD＝∠ABC＝60°，∠GDF＝∠E，

∵∠C＝60°，

∴△CDG是等邊三角形，

∴CD＝DG，

∵CD＝BE，

∴DG＝BE，

在△GDF和△BEF中，，

∴△GDF≌△BEF（AAS），

∴DF＝EF．