Question

【題目】如圖，在銳角ΔABC中，已知AB=AC,D為底邊BC上的一點，E為線段AD上的一點，且∠BED=∠BAC=2∠DEC，連接CE.

（1）求證：∠ABE=∠DAC

（2）若∠BAC=60°，試判斷BD與CD有怎樣的數量關系，并證明你的結論；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BD=2CD，理由見解析.

【解析】

（1）根據∠BED=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠DAC，且有∠BED=∠BAC，通過計算即可證得結論；
（2）在AD上取一點F，使得AF=BE，連接CF．過點C作CH∥BE，交直線AD于H點，證明△ACF≌△BAE（SAS），得出AE=CF，∠AEB=∠CFA，證出CF=CH，CF=EF，得出BE=2CH，由平行線分線段成比例定理得出BE：CH=BD：CD=2，即可得出結論．

（1）證明：

∵∠BED=∠BAE+∠ABE，∠BAC=∠BAE+∠DAC，

又∵∠BED =∠BAC，
∴∠BAE+∠ABE =∠BAE+∠DAC，
∴∠ABE=∠DAC；
（2）解：BD=2CD，理由如下：
如圖，在AD上取一點F，使得AF=BE，連接CF．過點C作CH∥BE，交直線AD于H點．

在△ACF和△BAE中，

∴△ACF≌△BAE（SAS），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFA，
∵∠AEB+∠BED=∠CFA+∠CFD=180°，
∴∠BED=∠CFD，
∵CH∥BE，
∴∠BED=∠CHD=∠CFD，
∴CF=CH，
∵∠BED=2∠DEC，∠CFD=∠DEC+∠ECF，

∴∠DEC=∠ECF，
∴CF=EF=AE，
∴BE=AF=2CH，
∵CH∥BE，
∴BE：CH=BD：CD=2，
即BD=2CD．