Question

（2013•嘉定區二模）如圖，點E是正方形ABCD邊BC上的一點（不與B、C重合），點F在CD邊的延長線上，且滿足DF=BE．聯結EF，點M、N分別是EF與AC、AD的交點．
（1）求∠AFE的度數；
（2）求證：

CE

CM

=

AC

FC

．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是正方形，可得∠B=∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD，易證得ABE≌△ADF（SAS），然后由全等三角形的性質，可求得AE=AF，∠BAE=∠DAF，繼而可求得答案；
（2）由四邊形ABCD是正方形，易證得△ABE∽△ADF，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得：

CE

CM

=

AC

FC

．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠ADC=∠BAD=90°，AB=AD．…（1分）
在△ABE和△ADF中，

BE=DF ∠B=∠ADF=90° AB=AD

∴ABE≌△ADF（SAS）．…（1分）
∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．…（1分）
∴∠EAF=∠EAD+∠DAF=∠EAD+∠BAE=∠BAD=90°．…（1分）
∵AE=AF，
∴∠AFE=∠AEF．
∴∠AFE=∠AEF=

1

2

×90°=45°．…（1分）

（2）方法1：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°．…（1分）
∵∠AEF=45°，
∴∠AEF=∠ACF．…（1分）
又∵∠AME=∠FMC，…（1分）
∴△ABE∽△ADF，…（2分）
∴

CE

CM

=

AC

FC

．…（1分）
方法2：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD=45°．…（1分）
∵△ABE≌△ADF，
∴∠AEB=∠AFD．…（1分）
∵∠AEB=∠ACB+∠CAE=45°+∠CAE，∠AFD=∠AFE+∠CFM=45°+∠CFM，
∴∠CAE=∠CFM．…（2分）
又∵∠ACB=∠ACD，△ACE∽△FCM．…（1分）
∴

CE

CM

=

AC

FC

．…（1分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．