Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），點B的坐標為（3，0），與軸交于點C（0，-3），頂點為D．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標．

（2）聯結AC，BC，求∠ACB的正切值．

（3）點P是x軸上一點，是否存在點P使得△PBD與△CAB相似，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（4）M是拋物線上一點，點N在軸，是否存在點N，使得以點A，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1），D（1，-4）；（2）2；（3）P（，0）或P（－3，0）；（4）N（1，0）或（，0）或（－3，0）．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法，把B、C點的坐標代入解析式即可求解；

（2）作AH⊥BC于點H，通過與x軸的交點y=0構成方程，解方程可得A點的坐標，然后解直角三角形可求解；

（3）作DG⊥OB于點G ，tan∠DBG=tan∠ACB，可得∠DBG=∠ACB，然后利用相似三角形的性質和判定討論得到P點在在點B的左側，再根據相似三角形的對應邊成比例求解即可；

（4）設M點的坐標為（x，x2-2x-3），然后根據A、C點和M的坐標，結合平行四邊形的性質與判定求出N點的坐標即可.

試題解析：（1）y=x2-2x-3

D（1，-4）

（2）作AH⊥BC于點H

x2-2x-3=0

解得x=-1或x=3

所以A點為（-1，0）

∵ OB=OC，∠BOC=90°

∴∠OBC=45°

∵AB=4

∴AH=BH=2

∵BC=3

∴CH=

∴tan∠ACB=2

（3）作DG⊥OB于點G

∵BG=2，DG=4

∴tan∠DBG=2

∵tan∠ACB=2

∴∠DBG=∠ACB

當點P在點B的右側時，∠PBD＞90°，△PBD是鈍角三角形與△CAB不相似，

所以點P在點B的左側.

∵△PBD與△CAB相似，且∠DBG=∠ACB

∴ 或

∵BD=2

∴BP=或BP=6

∴P（-，0）或P（-3，0）

（4）N（1，0）或（，0）或（－3，0）．