Question

如圖1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2，AC，BD相交于點O．

（1）求邊AB的長；

（2）如圖2，將一個足夠大的直角三角板60°角的頂點放在菱形ABCD的頂點A處，繞點A左右旋轉，其中三角板60°角的兩邊分別與邊BC，CD相交于點E，F，連接EF與AC相交于點G．

①判斷△AEF是哪一種特殊三角形，并說明理由；

②旋轉過程中，當點E為邊BC的四等分點時（BE＞CE），求CG的長．

Answer 1

解答：

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴△AOB為直角三角形，且OA=AC=1，OB=BD=． 在Rt△AOB中，由勾股定理得： AB===2．（2）①△AEF是等邊三角形．理由如下： ∵由（1）知，菱形邊長為2，AC=2， ∴△ABC與△ACD均為等邊三角形， ∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°， 又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°， ∴∠BAE=∠CAF． 在△ABE與△ACF中， ∵， ∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE=AF， ∴△AEF是等腰三角形， 又∵∠EAF=60°， ∴△AEF是等邊三角形． ②BC=2，E為四等分點，且BE＞CE， ∴CE=，BE=． 由①知△ABE≌△ACF， ∴CF=BE=． ∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形內角和定理）， ∠AEG=∠FCG=60°（等邊三角形內角）， ∠EGA=∠CGF（對頂角） ∴∠EAC=∠GFC． 在△CAE與△CFG中， ∵， ∴△CAE∽△CFG， ∴，即， 解得：CG=．