Question

對于平面直角坐標系中的任意兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），我們把叫做P₁、P₂兩點間的直角距離，記作d（P₁，P₂）．
（1）已知O為坐標原點，動點P（x，y）滿足d（O，P）=1，請寫出x與y之間滿足的關系式，并在所給的直角坐標系中畫出所有符合條件的點P所組成的圖形；
（2）設P₀（x₀，y₀）是一定點，Q（x，y）是直線y=ax+b上的動點，我們把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離．試求點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離．

Answer 1

（1）|x|+|y|=1，畫圖見解析；（2）3.

試題分析：（1）根據新定義知|x|+|y|=1，據此可以畫出符合題意的圖形.
（2）根據新定義知d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，然后由絕對值與數軸的關系可知，|x﹣2|+|x+1|表示數軸上實數x所對應的點到數2和﹣1所對應的點的距離之和，其最小值為3.
（1）由題意，得|x|+|y|=1.
所有符合條件的點P組成的圖形如圖所示：

（2）∵d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，
又∵x可取一切實數，|x﹣2|+|x+1|表示數軸上實數x所對應的點到數2和﹣1所對應的點的距離之和，其最小值為3.
∴點M（2，1）到直線y=x+2的直角距離為3.