Question

【題目】如圖①，∠QPN的頂點P在正方形ABCD兩條對角線的交點處，∠QPN=α，將∠QPN繞點P旋轉，旋轉過程中∠QPN的兩邊分別與正方形ABCD的邊AD和CD交于點E和點F（點F與點C，D不重合）．

（1）如圖①，當α=90°時，DE，DF，AD之間滿足的數量關系是 ；

（2）如圖②，將圖①中的正方形ABCD改為∠ADC=120°的菱形，其他條件不變，當α=60°時，（1）中的結論變為DE+DF=AD，請給出證明；

（3）在（2）的條件下，若旋轉過程中∠QPN的邊PQ與射線AD交于點E，其他條件不變，探究在整個運動變化過程中，DE，DF，AD之間滿足的數量關系，直接寫出結論，不用加以證明．

Answer 1

【答案】（1）DE+DF=AD；（2）證明見試題解析；（3）①當點E落在AD上時，DE+DF=AD，②當點E落在AD的延長線上時，DF－DE =AD．

【解析】

試題分析：（1）證明△APE≌△DPF，得到AE=DF，即可得出結論DE+DF=AD，

（2）取AD的中點M，連接PM，可證明△MDP是等邊三角形，△MPE≌△FPD，得到ME=DF，由DE+ME=AD，即可得出DE+DF=AD，

（3）①當點E落在AD上時，DE+DF=AD，②當點E落在AD的延長線上時，DF－DE =AD．

試題解析：（1）正方形ABCD的對角線AC，BD交于點P，∴PA=PD，∠PAE=∠PDF=45°，∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°，∴∠APE=∠DPF，在△APE和△DPF中，∵∠APE=∠DPF，PA=PD，∠PAE=∠PDF，∴△APE≌△DPF（ASA），∴AE=DF，∴DE+DF=AD，

（2）如圖②，取AD的中點M，連接PM，∵四邊形ABCD為∠ADC=120°的菱形，∴BD=AD，∠DAP=30°，∠ADP=∠CDP=60°，∴△MDP是等邊三角形，∴PM=PD，∠PME=∠PDF=60°，∵∠PAM=30°，∴∠MPD=60°，∵∠QPN=60°，∴∠MPE=∠FPD，在△MPE和△FPD中，∵∠PME=∠PDF，PM=PD，∠MPE=∠FPD，∴△MPE≌△FPD（ASA），∴ME=DF，∴DE+DF=AD；

（3）如圖，在整個運動變化過程中，①當點E落在AD上時，DE+DF=AD，

②當點E落在AD的延長線上時，DF－DE =AD．

（如圖3，取AD中點M，連接PM，證明△MPE≌△DPF）