Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M為AB的中點．D是射線BC上一個動點，連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接ED，N為ED的中點，連接AN，MN．

（1）如圖1，當(dāng)BD=2時，AN=___ __，NM與AB的位置關(guān)系是____ _____；

（2）當(dāng)4<BD<8時，

①依題意補全圖2；

②判斷（1）中NM與AB的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論；

（3）連接ME，在點D運動的過程中，當(dāng)BD的長為何值時，ME的長最小？最小值是多少？請直接寫出結(jié)果．

Answer 1

【答案】（1），垂直；（2）①補圖見解析；②結(jié)論（1）成立，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）由已知條件得到CD=2，由勾股定理求出AD，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△ADE是等腰直角三角形，求出DE、AD的長度，再由直角三角形的性質(zhì)推出AN=DE，AM=AB，推出△ACD∽△AMN，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）①根據(jù)題意補全圖形即可；②根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN +∠NAM=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△AMN∽△ADC，由三角形相似的性質(zhì)得到∠AMN=∠ACD，即可得出結(jié)論；（3）連接ME、EB，過M 作MG⊥EB于點G，過A作AK⊥AB交BD于的延長線于K，得到△AKB是等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根據(jù)全等的性質(zhì)可得∠ABE=∠K=45°，證得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4，MB=2，因為ME≥MG，所以當(dāng)ME=MG時，ME的值最小，直接寫出結(jié)論即可.

試題解析：

（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，

∴AD==2，

∵線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE=AD=2，

∵N是ED的中點，

∴AN=DE=，

∵M是AB中點，

∴AM=AB=2，

∵==， ==，

∴=，

∵∠CAB=∠DAN=45°，

∴∠CAD=∠MAN，

∴△ACD∽△AMN，

∴∠AMN=∠C=90°，

∴MN⊥AB；

（2）①補全圖形如圖所示；

②結(jié)論：（1）中NM與AB的位置關(guān)系不變．

證明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠B=45°，

∴∠CAN +∠NAM=45°，

∵AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，

∴AD=AE，∠DAE=90°，

∵N為ED的中點，

∴∠DAN=∠DAE=45°，AN⊥DE，

∴∠CAN +∠DAC =45°，∠AND=90°，

∴∠NAM =∠DAC，

在Rt△AND中， =cos∠DAN= cos45°=，

在Rt△ACB中， =cos∠CAB= cos45°=，

∵M為AB的中點，

∴AB=2AM，

∴，

∴即，

∴，

∴△ANM∽△ADC ，

∴∠AMN=∠ACD，

∵點D在線段BC的延長線上，

∴∠ACD=180°－∠ACB =90°，

∴∠AMN=90°，

∴NM⊥AB．

（3）當(dāng)BD的長為6時，ME的長的最小值為 2 ．

連接ME、EB，過M 作MG⊥EB于點G，過A作AK⊥AB交BD于的延長線于K，則△AKB是等腰直角三角形，

再△ADK和△ABE中，

,

∴△ADK≌△ABE，

∴∠ABE=∠K=45°，

∴△BMG是等腰直角三角形，

∵BC=4，

∴AB=4，MB=2，

∴MG=2，

∵∠G=90°，

∴ME≥MG，

∴當(dāng)ME=MG時，ME的值最小，

∴ME=MG=2，

∴DK=BE=2，

∵CK=BC=4，

∴CD=2，

∴BD=6.

∴當(dāng)BD的長為6時，ME的長的最小，最小值為 2 ．