Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線上有兩點，，連接，，，直線交軸于點，點到兩坐標軸的距離相等．點到兩坐標軸的距離也相等．

（1）求點，的坐標并直接寫出的形狀；

（2）若點為線段上的一個動點（不與點，重合），連接，當為等腰三角形時，求點的坐標；

（3）若點為軸上一動點，當是以為斜邊的直角三角形時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；；直角三角形 （2）或或 （3），

【解析】

（1）設點的坐標是，代入，即可得到A的坐標，同理，可得到B的坐標，進而即可判斷的形狀；

（2）先求出直線的解析式為：，進而得到點C的坐標，再求出直線的解析式為：，然后分3種情況：或或，分別求出點P的坐標，即可；

（3）過點作軸于點，過點作軸于點．易證，得，進而即可得到答案．

（1）∵點在第二象限，

∴設點的坐標是，

∵點在拋物線上，

∴，解得：，（舍去），

∴點的坐標是．

同理可得：點的坐標是．

∴∠AOC=∠BOC=45°，即：∠AOB=90°，

∴是直角三角形；

（2）設直線的解析式為：．

∴，解得：，

∴直線的解析式為：，

∴點的坐標為．

∵直線過點，，

∴直線的解析式為：．

∵為等腰三角形，

∴或或．

設，

①當時，，解得：，（舍去）．

∴．

②當時，點在線段的中垂線上，

∴．

③當時，由，解得：，（舍去）．

∴．

∴點坐標為：或或；

（3）過點作軸于點，過點作軸于點．

∵點為軸上一動點，

∴設，

當時，可得：，

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，即，解得：，，

∴，．