Question

【題目】如圖1，點為線段延長線上的一點，點是的中點，且點不與點重合，，設．

①若，如圖2，則 ；

②用含的代數式表示的長，直接寫出答案； ， ；

若點為線段上一點，且，你能說明點是線段的中點嗎？

Answer 1

【答案】（1）①1；②；（2）E為BC的中點，詳情見解析；

【解析】

（1）①先求出AC=AB+BC，因為D是AC中點，可求AD，最后由BD=AB-AD進行計算即可；②分類討論，當點D在AB之間，因為AC=AB+BC=8+x，D是AC中點，所以，所以；當D和B點重合，所以B是AC中點，可得 ，；當D在AB之外，因為，D是AC中點，所以，所以；結合三種情況可得 ；

（2）分類討論①當x＜8，D在AB上，②當x=8時，AB=BC=8，③當x>8時，D在BC上，由（1）可知，CD＝4+x，所以CE＝CD-DE＝(4+x)-4＝x，所以CE＝BC，所以E為BC的中點；

解：

（1）①若x=6，則AC=AB+BC=14，

∴D是AC中點，

∴，

∴，

故答案為：1；

②當x<8時，D在AB上，如圖，

∵AC=AB+BC=8+x，

又∵D是AC中點，

∴，

∴，

當x=8時，AB=BC=8，如圖，

∴B是AC中點，

∴此時B、D重合，

∴ ，，

當x>8時，D在BC上，如圖，

∵，

又因為D是AC中點，

∴，

∴，

故 ；

（2）①當x＜8，D在AB上，如圖，

由（1）可知，CD＝4+x，

∴CE＝CD-DE＝(4+x)-4＝x，

∴CE＝BC，

∴E為BC的中點；

②當x=8時，AB=BC=8，如圖，

由（1）可知，CD＝4+x，

∴CE＝CD-DE＝(4+x)-4＝x，

∴CE＝BC，

∴E為BC的中點；

③當x>8時，D在BC上，如圖，

由（1）可知，CD＝4+x，

∴CE＝CD-DE＝(4+x)-4＝x，

∴CE＝BC，

∴E為BC的中點；

綜上所述，E為BC的中點；