Question

【題目】 如圖，AB是⊙O的直徑，點E是AD上的一點，∠DBC＝∠BED

（1）求證：BC是⊙O的切線；

（2）已知AD＝3，CD＝1，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）﹣.

【解析】

（1）根據圓周角定理得∠BAD=∠BED，加上∠DBC=∠BED，所以∠BAD=∠DBC，再由AB為直徑得∠ADB=90°，所以∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠DBC+∠ABD=90°，即∠CBO=90°，然后根據切線的判斷定理可判斷BC為⊙O的切線；
（2）求出BD=，連結OD，作DH⊥AB于H，根據勾股定理計算出AB=2，則OB=OD=，于是可判斷△OBD為等邊三角形，則∠BOD=60°，根據面積公式求出DH=，然后根據扇形面積公式和三角形面積公式，利用陰影部分的面積=S扇形OBD-S△OBD進行計算即可．

解：（1）∵∠BAD＝∠BED，

而∠DBC＝∠BED，

∴∠BAD＝∠DBC，

∵AB為直徑，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD+∠ABD＝90°

∴∠DBC+∠ABD＝90°，即∠CBO＝90°，

∴AB⊥BC，

∴BC為⊙O的切線；

（2）連結OD，作DH⊥AB于H，

∵∠ABC＝90°，BD⊥AC，

根據（1）知∠BAD＝∠DBC

∴△ABD∽△BDC

∴BD2＝ADCD＝3×1＝3，

∴BD＝，

∴AB＝＝＝2，

∴OB＝OD＝，

∴OB＝OD＝BD，

∴△OBD為等邊三角形，

∴∠BOD＝60°，

∵ABDH＝ADBD，

∴DH＝＝＝，

∴S陰影＝S扇形OBD﹣S△OBD＝﹣××＝﹣．