Question

【題目】如圖，拋物線y=mx2+2mx﹣3與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且x2﹣x1=4．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限．

①當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，△AMB的面積最大？求出△AMB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

②當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AMCB的面積最大？求出四邊形AMCB的最大面積及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x3；（2）P的坐標(biāo)為：（-1，-2）；（3）①點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-4）時(shí)，△AMB的面積最大，最大值為8；②點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-，-）時(shí)，四邊形AMCB的面積最大，最大值為．

【解析】

（1）由，與，聯(lián)立方程組求出，再將A或B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線即可求解；

（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，連接AC交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則PA+PC的值最小，求出直線PC的解析式，與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即為所求；

（3）

（1）由題意得，解得，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0），

將（1,0）代入得，，∴

拋物線的表達(dá)式為：．

（2）如圖1，連接AC交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P，則PA+PC的值最小，

當(dāng)y=0時(shí)，，解得：x=-3或x=1．

∵A在B的左側(cè)，∴A（-3，0），B（1，0），設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b，則

，解得：，

∴直線AC的解析式為：，

∵拋物線對(duì)稱(chēng)軸

當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（-1，-2）

（3）如圖2，點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，且在第三象限，∴-3＜x＜0；

①設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為： ，

∵點(diǎn)M在第三象限，∴M到x軸的距離為

∵，∴S△AMB=．

∴當(dāng)x=-1時(shí)，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-1，-4）時(shí)，△AMB的面積最大，最大值為8；

②設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：，如圖3，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于D，則

，，

∴S四邊形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD

=

=

=

= ，∴當(dāng)時(shí)，，

即當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為時(shí)，四邊形AMCB的面積最大，最大值為．