Question

【題目】如圖1，△ABC中，∠ACB=90°,∠CAB=30°，△ABD是等邊三角形，過點C作CF//BD,交AB于點E，交AD于點F．

（1）求證:△AEF≌△BEC；

（2）如圖2，將四邊形ACBD折疊，使D與C重合，HK為折痕，如圖2，求sin∠ACH的值．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；(2)

【解析】

（1）根據等邊三角形及平行線的性質求出AE=CE=BE，再根據ASA即可證明△AEF≌△BEC；

（2）在Rt△ABC中，設BC=1,則AD=AB=2，AC=,設DH=x，則CH=x，在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，代入求出x的值，再根據三角函數的定義即可求解．

(1)∵△ABD是等邊三角形

∴∠D=∠DAB=60°，

∵∠CAB=30°

∴∠FAC=∠DAB+∠CAB=90°=∠ACB

∴AD∥BC

∵CF//BD

∴∠AFC=∠D=60°

∴∠FCA=90°-∠AFC=30°=∠CAB

∴AE=CE，

∵AD∥BC

∴∠ABC=∠DAB=60°

又∠ECB=90°-∠FCA=60°

∴BE=CE

∴AE=BE

又∠FAB=∠EBC=60°，∠AEF=∠BEC,

∴△AEF≌△BEC；

(2) ∵∠BAD=60°，∠CAB=30°

∴∠CAH=90°

在Rt△ABC中，∠CAB=30°，設BC=1,則AB=AD=2，

∴AC==,

設DH=x，則CH=x，AH=2-x

在Rt△ACH中，AH2+AC2=HC2，

即（2-x）2+()2=x2，

解得x=，

∴AH=2-=

∴sin∠ACH==．