Question

【題目】如圖，△ABC是等腰三角形，∠C=90°，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE，DF，EF．在此運動變化過程中，有下列結論：
①DE=DF；
②∠EDF=90°；
③四邊形CEDF不可能為正方形；
④四邊形CEDF的面積保持不變．
一定成立的結論有（把你認為正確的序號都填上）

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：①連接CD；

∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴ED=DF，①正確；
②∵△ADE≌△CDF，
∴∠CDF=∠EDA，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，②正確；
③當E、F分別為AC、BC中點時，DE⊥AC，DF⊥BC，又∠ACB=90°，
∴四邊形CEDF是矩形，
∵CE=CF，
∴四邊形CDFE是正方形，③錯誤；
④如圖2，分別過點D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點M，N，

則DM=DN，
在Rt△DME和Rt△DNF中，
，
∴Rt△DME≌Rt△DNF（HL），
∴四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變，④正確，
所以答案是：①②④．
【考點精析】掌握等腰三角形的性質是解答本題的根本，需要知道等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）．