Question

如圖，已知等邊三角形ABC的邊長為2，AD是BC邊上的高．
（1）在△ABC內部作一個矩形EFGH（如圖①），其中E、H分別在邊AB、AC上，FG在邊BC上．
①設矩形的一邊FG=x，那么EF=

 

；（用含有x的代數式表示）
②設矩形的面積為y，當x取何值時，y的值最大，最大值是多少？
（2）當矩形EFGH面積最大時，請在圖②中畫出此時點E的位置．（要求尺規作圖，保留作圖痕跡，并簡要說明確定點E的方法）

Answer 1

分析：（1）①根據等邊三角形的性質及已知可求得BD的長，再根據三角函數不難求得EF的長；
②面積=長×寬，那么就可以表示為關于x的二次函數，得出最值即可．
（2）由②得，FG=1時矩形面積最大，此時，BF=0.5，那么BE=1，那么以B為圓心，BD為半徑畫弧交AB于點E即可．

解答：解：（1）①設FG=x，那么FD=

x

2

，
∵BC=2，
∴BD=1．
∴BF=1-

x

2

．
∵∠B=60°，∠EFB=90°，
∴EF=

3

-

3

2

x．

3

-

3

2

x．（2分）

②y=FG•EF=x(

3

-

3

2

x)=-

3

2

x2+

3

x（6分）
=-

3

2

(x-1)2+

3

2

．（7分）
當x=1時，y有最大值，且最大值為

3

2

．（8分）

（2）畫法：以B為圓心，BD長為半徑畫弧，交AB于點E，則點E即為所求（10分）
畫圖正確（12分）

點評：此題考查相似三角形的判定，等邊三角形的性質及二次函數的最值等知識點的綜合運用．