Question

【題目】定義：兩條長度相等，且它們所在的直線互相垂直，我們稱這兩條線段互為等垂線段．如圖①，直線y＝2x+4與x軸交于點A，與y軸交于點 B．

（1）若線段AB與線段BC互為等垂線段．求A、B、C的坐標．

（2）如圖②，點D是反比例函數y＝﹣的圖象上任意一點，點E（m，1），線段DE與線段AB互為等垂線段，求m的值；

（3）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）經過A、B兩點．

①用含a的代數式表示b．

②點P為平面直角坐標系內的一點，在拋物線上存在點Q，使得線段PQ與線段AB互為等垂線段，且它們互相平分，請直接寫出滿足上述條件的a值．

Answer 1

【答案】（1）點A、B的坐標分別為（﹣2，0）、（0，4），點C（4，2）；（2）m＝；（3）①b＝2a+2；②a＝﹣．

【解析】

（1）證明△AOB≌△CDB（AAS），則BD＝OA＝2，DC＝OB＝4，即可求解；

（2）設點D（n，﹣），則點H（n﹣2，1），點E（n﹣2+4，﹣﹣2），而點E（m，1），即可求解；

（3）①將點A、B的坐標代入二次函數表達式即可求解；②確定直線PQ的表達式為y＝﹣x+，則點G（3，0），則HG＝＝2，而HQ＝AB＝，即點Q是HG的中點，求出點Q（1，1），將點A、B、Q的坐標代入二次函數表達式即可求解．

（1）如圖①，過點C作CD⊥y軸于點D，

y＝2x+4，令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝﹣2，

故點A、B的坐標分別為（﹣2，0）、（0，4），

∵∠ABO+∠CBD＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，

∴∠BAO＝∠DBC，

∠AOB＝∠CDB＝90°，AB＝BC，

∴△AOB≌△CDB（AAS），

∴BD＝OA＝2，DC＝OB＝4，

∴點C（4，2）；

（2）如圖②，由（1）知，△AOB≌△EHD（AAS），

則HE＝OB＝4，DH＝OA＝2，

設點D（n，﹣），則點H（n﹣2，1），點E（n﹣2+4，﹣﹣2），

而點E（m，1），

即：m＝n+2；﹣﹣2＝1，

解得：m＝；

（3）①將點A、B的坐標代入二次函數表達式得：，

故：b＝2a+2；

②如圖③，PQ與BA交于點H，即點H是兩條線段的中點，延長PQ交x軸于點G，

則點H（﹣1，2），直線AB表達式中的k值為2，則直線PQ表達式中的k值為﹣，

則直線PQ的表達式為：y＝﹣x+b，將點H坐標代入上式并解得：b＝，

則直線PQ的表達式為：y＝﹣x+，

則點G（3，0），則HG＝＝2，而HQ＝AB＝，

即點Q是HG的中點，則點Q（1，1），

將點A、B、Q的坐標代入二次函數表達式并解得：a＝﹣．