Question

【題目】兩塊等腰直角三角形紙片AOB和COD 按圖1所示放置，直角頂點重合在點O處，其中AB=3，CD=6．保持紙片AOB不動，將紙片COD繞點O逆時針旋轉α（0°<α<90°），如圖2所示．當BD與CD在同一直線上（如圖3）時，tanα的值等于（ ）

A. B.C.D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

當BD與CD在同一直線上時，根據三角形AOB和COD是等腰直角三角形，可得OA＝OB，OC＝OD，由旋轉可得∠AOC＝∠DOB，證明△AOC≌△BOD，可得AC＝BD，在RtACB中，設AC＝x，則BD＝x，根據勾股定理列出方程求出x的值，可得tan∠ABC＝＝．再根據∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC證明∠ABC＝α，進而求出α的正切值．

解：當BD與CD在同一直線上（如圖3）時，
∵三角形AOB和COD是等腰直角三角形，
∴OA＝OB，OC＝OD，

由旋轉可知：
∠AOC＝∠DOB=α，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，
∵∠DBO＋∠ABC+∠BAO＝90°，

∴∠CAO+∠OAB+∠ABC=90°

∴∠ACB=90°

在RtACB中，設AC＝x，則BD＝x，
∴BC＝CD＋BD＝6＋x，
∵AB=3，
∴根據勾股定理，得x2＋（6＋x）2＝（3）2，
解得x＝3或x＝9（舍去）．
∴AC＝3，BC＝9，
∴tan∠ABC＝＝．
三角形AOB和COD是等腰直角三角形，
∴∠CDO＝∠ABO＝45°，
∴∠DBO＋∠DOB＝∠DBO＋∠ABC，
∴∠ABC＝∠DOB，
由旋轉可知：
∠AOC＝∠DOB＝α，
∴∠ABC＝α，

∴tanα＝．

故選：C