Question

【題目】如圖，二次函數y＝x2+bx+c的圖象交x軸于A、D兩點并經過B點，已知A點坐標是（2，0），B點的坐標是（8，6）．

（1）求二次函數的解析式；

（2）該二次函數的對稱軸交x軸于C點，連接BC，并延長BC交拋物線于E點，連接BD，DE，求△BDE的面積；

（3）拋物線上有一個動點P，與A，D兩點構成△ADP，是否存在2S△ADP＝S△BCD？若存在請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）二次函數解析式為：y＝x2﹣4x+6；（2）；（3）存在，P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）

【解析】

（1）根據待定系數法可求二次函數的解析式；

（2）由題意可得C點，D點坐標，求出BC解析式，可求E點坐標，即可求△BDE的面積；

（3）點P到x軸的距離為h，根據2S△ADP=S△BCD，可求h=，再分點P在x軸上方，x軸下方討論，可求點P坐標．

（1）∵二次函數y＝x2+bx+c的圖象過A（2，0），B（8，6）

∴

解得b＝﹣4，c＝6

∴二次函數解析式為：y＝x2﹣4x+6

（2）∵y＝x2﹣4x+6＝y＝（x﹣4）2﹣2，

∴函數圖象的頂點坐標為（4，﹣2），

∴對稱軸為直線x＝4，點C坐標（4，0）

∵點A，點D是拋物線y＝x2﹣4x+6與x軸的交點

∴點A，點D關于對稱軸直線x＝4對稱，且A（2，0）

∴D（6，0）

設BC所在的直線解析式為y＝kx+b，且過點B（8，6），點C（4，0）

∴

解得k＝，b＝﹣6

∴BC所在的直線解析式為y＝x﹣6，

∵E點是直線y＝x﹣6與拋物線y＝x2﹣4x+6的交點，

∴x﹣6＝x2﹣4x+6

解得x1＝3，x2＝8（舍去），

當x＝3時，y＝﹣，

∴E（3，﹣）

∴S△BDE＝S△CDB+S△CDE＝×2×6+×2×＝．

（3）存在，

設點P到x軸的距離為h，

∵S△BCD＝×2×6＝6，S△ADP＝×4×h＝2h，且2S△ADP＝S△BCD

∴2×2h＝6，

解得h＝，

當P在x軸上方時，

＝x2﹣4x+6，解得x1＝4+，x2＝4﹣，

當當P在x軸下方時，

﹣＝x2﹣4x+6，

解得x1＝3，x2＝5，

∴P1（4+，），P2（4﹣，），P3（3，﹣），P4（5，﹣）