Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，四邊形BCED為平行四邊形，DE，AC相交于F.連接DC，AE.

（1）試確定四邊形ADCE的形狀，并說明理由．

（2）若AB＝16，AC＝12，求四邊形ADCE的面積．

（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE為正方形？請給予證明．

Answer 1

【答案】（1）四邊形ADCE是菱形，理由見解析；（2）24；（3）當AC＝BC時，四邊形ADCE為正方形，證明見解析.

【解析】

（1）由題意容易證明CE平行且等于AD，又知AC⊥DE，所以得到四邊形ADCE為菱形；
（2）根據解三角形的知識求出DE的長，然后根據菱形的面積公式求出四邊形ADCE的面積；
（3）應添加條件AC=BC，證明CD⊥AB且相等即可．

(1)四邊形ADCE是菱形．

理由：∵四邊形BCED為平行四邊形，

∴CE∥BD，CE＝BD，BC∥DE.

∵D為AB的中點，∴AD＝BD.

∴CE∥AD，CE＝AD.

∴四邊形ADCE為平行四邊形．

又∵BC∥DF，

∴∠AFD＝∠ACB＝90°，即AC⊥DE.

∴四邊形ADCE為菱形．

(2)在Rt△ABC中，∵AB＝16，AC＝12，∴BC＝4.

而BC＝DE，∴DE＝4.

∴四邊形ADCE的面積＝AC·DE＝24.

(3)當AC＝BC時，四邊形ADCE為正方形．

證明：∵AC＝BC，D為AB的中點，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.

∴菱形ADCE為正方形．