Question

【題目】如圖，PA、PB分別切⊙O于A、B，連接PO、AB相交于D，C是⊙O上一點，∠C=60°．
（1）求∠APB的大小；
（2）若PO=20cm，求△AOB的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵PA、PB分別切⊙O于A、B，

∴OA⊥PA，OB⊥PB，

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∵∠C=60°，

∴∠AOB=2∠C=2×60°=120°，

∴∠APB=360°﹣∠PAO﹣∠PBO﹣∠AOB=60°

（2）解：∵PA、PB分別切⊙O于A、B，

∴∠PAO=∠PBO=90°，∠APO= ∠APB= ×60°=30°，PA=PB，

∴P在AB的垂直平分線上，

∵OA=OB，

∴O在AB的垂直平分線上，

即OP是AB的垂直平分線，

即OD⊥AB，AD=BD= AB，

∵∠PAO=90°，

∴∠AOP=60°，

在Rt△PAO中，AO= PO= ×20=10（cm），

在Rt△AOD中，AD=AOsin60°=10× =5 （cm），OD=OAcos60°=10× =5（cm），

∴AB=2AD=10 cm，

∴△AOB的面積為： ABOD= ×10 ×5=25 （cm2）

【解析】（1）由PA、PB分別切⊙O于A、B，由切線的性質，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圓周角定理，求得∠AOB的度數，繼而求得∠APB的大小；（2）由切線長定理，可求得∠APO的度數，繼而求得∠AOP的度數，易得PO是AB的垂直平分線，然后利用三角函數的性質，求得AD與OD的長，繼而求得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用圓周角定理和切線的性質定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．