Question

【題目】在平面直角坐標系中，拋物線y=﹣x2+x+2與x軸交于A，B兩點，交y軸于點C，點C關于拋物線對稱軸對稱的點為D．

（1）求點D的坐標及直線AD的解析式；

（2）如圖1，連接CD、AD、BD，點M為線段CD上一動點，過M作MN∥BD交線段AD于N點，點P是y軸上的動點，當△CMN的面積最大時，求△MPN的周長取得最小值時點P的坐標；

（3）如圖2，線段AE在第一象限內交BD于點E，其中tan∠EAB=，將拋物線向右水平移動，點A平移后的對應點為點G；將△ABD繞點B逆時針旋轉，旋轉后的三角形紀為△A1BD1，若射線BD1與線段AE的交點為F，連接FG．若線段FG把△ABF分成△AFG和△BFG兩個三角形，是否存在點G，使得△AFG是直角三角形且△BFG是等腰三角形？若存在，請直接寫出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）D（，2）；直線AD解析式y=x+；（2）P（0，）；（3）G（，0），（，0），（，0）．

【解析】

（1）根據題意可得A，B，C坐標，根據對稱可求D點坐標，用待定系數法可求AD解析式;（2）作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT，設M（m，2），則T（m，m+），根據相似三角形可得MK=MT，用m表示△CMN的面積，根據二次函數的最值問題，可求M點坐標，作M關于y軸對稱點M1（- ，2），連接M1N交y軸于點P，利用待定系數法確定函數關系式以及直線與坐標軸的交點的求法求得點P的坐標；（3）如圖3，4，5，分類討論，通過數量關系列出方程，可求G點坐標．

（1）令x=0，則y=2，

∴C（0，2），

∵對稱軸為x=，且C，D關于對稱軸對稱，

∴D（，2）．

令y=0，則0=﹣x2+x+2，

∴x1=﹣，x2=2，

∴A（﹣，0），B（2，0），

設直線AD解析式y=kx+b，

，

解得：k=1，b=，

∴直線AD解析式y=x+；

（2）如圖1：作DH⊥AB，MT⊥AB，交AD于T，作NK⊥MT

設M（m，2），則T（m，m+）

∵A（﹣，0），D（，2），

∴AH=DH

∴∠DAH=∠ADH=45°=∠CDA

∵MT∥DH，KN∥CD

∴∠KNT=∠KTN=45°=∠CDA

∴KT=KN，MT=MD

∵MN∥BD，

∴∠MND=∠ADB且∠CDA=∠DAB

∴△ADB∽△MND，

∴，

∴ND=MD．

∵DT=MD，

∴NT=MD．

∵KN∥CD，

∴，

∴KT=MT

∴KM=MT=（﹣m）

∴S△CMN=CM×KM=m×（﹣m）=﹣m2+m

∴當m=時，S△CMN最大值．

∴M（，2）．

如圖2 作M關于y軸對稱點M1（﹣，2），

由B（2，0），D（，2）得到直線BD的解析式為：y=﹣2x+4．

∵MN∥BD，

∴設直線MN的解析式為：y=﹣x+t．

把M（，2）代入求得：y=﹣x+．

聯立方程組，

解之得，即N（），

由M1（﹣，2），N（）得到直線M1N的解析式為：y=﹣x+．

令x=0，則y=，即：P（0，）．

（3）如圖3：

①當AG=FG，∠GFB=90°時，∵tan∠EAB=，

∴設FH=a，則AH=2a，設AG=FG=x，則GH=2a﹣x

∵FH2+GH2=FG2

∴a2+（2a﹣x）2=x2

∴x=a，

∴GH=a，

∵FH⊥AB，GF⊥FB

∴∠FBG=∠GFH

∴tan∠GFH=tan∠FBG

∴，

∴BH=a

∵AH+BH=AB=3，

∴2a+a=3，

∴a=，

∵OG=AG﹣AO

∴OG=×﹣=，

∴G（，0）

②如圖4

當FG=BG，∠AGF=90°時，設GF=a，則AG=2a，BG=a，

∴AB=AG+BG=3a=3，

∴a=，

∴G（，0）；

③如圖5：

當FG=BG，∠AFG=90°時，設GF=a，則BG=a，AG=a．

∴AB=AG+BG=a+a=3，

∴a=，

∵OG=AG﹣AO=a﹣=，

∴G（，0），

綜上所述G（，0），（，0），（，0）．