Question

【題目】如圖，已知是的直徑，，點、在上，平分，點在外，．

（1）求證：是的切線；

（2）若，求的長；

（3）若，求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據圓周角定理得出∠ACB=90°，∠B=∠D，進而求得∠EAC=∠B，根據∠B+∠BAC=90°得出∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，即可證得AE是⊙O的切線；

（2）先證得△ADB是等腰直角三角形，根據勾股定理求得AD、AC的長，然后根據余弦定理即可求得CD的長；

（3）連接OC，作OF⊥AC，根據三角形中位線性質得出OF=3，根據圓周角定理得出∠AOC=120°，然后根據S陰影=S扇形﹣S△AOC即可求得．

（1）∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°．

∵∠B=∠D，∠EAC=∠D，∴∠EAC=∠B，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴AE是⊙O的切線；

（2）連接BD．

∵DC平分∠ACB，∴AD=BD．

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠ABD=45°．

∵AD2+BD2=AB2，AB=10，∴AD=5．在Rt△ABC中，AC===8．

∵∠ACD=∠ABD=45°，∴AD2=AC2+DC2﹣2ACDCcos45°，即（5）2=82+DC2﹣8DC，∴DC=7．

（3）連接OC，作OF⊥AC，∴OF垂直平分AC．

∵OA=OB，∴OF=BC=．

∵∠D=60°，∴∠AOC=120°，∠ABC=60°，∴AC=AB=5，∴S陰影=S扇形﹣S△AOC=﹣×5×=﹣．