Question

（2009•自貢）已知一次函數y=-

k

k+1

x+

1

k+1

（k=1，2，3，…，n）的圖象與坐標軸所成的直角三角形面積為S₁，S₂，S₃，…，S_n，則S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₉=

2009

4020

．

Answer 1

分析：依次把k代入一次函數解析式，進而求得與坐標軸的交點，求得三角形的面積，找到相應的規律，相加即可．

解答：解：當k=1時，一次函數為y=-

1

2

x+

1

2

，與x軸的交點為（1，0），與y軸的交點為（0，

1

2

），S₁=

1

2

×1×

1

2

；
當k=2時，一次函數為：y=-

2

3

x+

1

3

，與x軸的交點為（

1

2

，0），與y軸的交點為（0，

1

3

），S₁=

1

2

×

1

2

×

1

3

；
當k=3時，一次函數為：y=-

3

4

x+

1

4

，與x軸的交點為（

1

3

，0），與y軸的交點為（0，

1

4

），S₁=

1

2

×

1

3

×

1

4

；
…
當k=2009時，一次函數為：y=-

2009

2010

x+

1

2010

，與x軸的交點為（

1

2009

，0），與y軸的交點為（0，

1

2010

），S₁=

1

2

×

1

2009

×

1

2010

；
∴S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₉=

1

2

×（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

）
=

1

2

×

2009

2010

=

2009

4020

．
故答案為：

2009

4020

．

點評：綜合考查一次函數的知識；得到S₁，S₂…的面積的規律是解決本題的關鍵；掌握相應分數的計算規律是解決本題的難點．