Question

【題目】如圖1，O為線段AB上一點，AB=6，OC為射線，且∠BOC=60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發，沿射線OC做勻速運動，設運動時間為t秒．

（1）若AO=4，
①當t=1秒時，OP= ， S△ABP=；
②當△ABP是直角三角形時，求t的值；
（2）如圖2，若點O為AB中點，當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求AQBP的值．

Answer 1

【答案】
（1）2,3 ,解：②當△ABP是直角三角形時,a、若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A,∴∠A≠90°,故此種情形不存在；b、若∠B=90°,如答圖2所示：∵∠BOC=60°,∴∠BPO=30°,∴OP=2OB=4,又OP=2t,∴t=2；c、若∠APB=90°,如答圖3所示：過點P作PD⊥AB于點D,則OD=OP?sin30°=t,PD=OP?sin60°= t,∴AD=OA+OD=4+t,BD=OB﹣OD=2﹣t．在Rt△ABP中,由勾股定理得：PA2+PB2=AB2∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2,即[（4+t）2+（ t）2]+[（2﹣t）2+（ t）2]=62,解方程得：t= 或t= （負值舍去）,∴t= ．綜上所述,當△ABP是直角三角形時,t=2或t= ．
（2）解：如圖中，作OE∥AP，交BP于點E．

∵AP=AB，

∴∠APB=∠B，

∴∠OEB=∠APB=∠B，

∵AQ∥BP，

∴∠QAB+∠B=180°．

又∵∠OEP+∠OEB=180°，

∴∠OEP=∠QAB，

又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，

∵∠B=∠QOP，

∴∠AOQ=∠OPE，

∴△QAO∽△OEP，

∴ = ，即AQEP=EOAO，

由三角形中位線定理得OE=3，

∴AQEP=9，

∴AQBP=AQ2EP=2AQEP=18．

【解析】解：（1）①當t=1秒時，OP=2t=2×1=2．

如答圖1，過點P作PD⊥AB于點D．

在Rt△POD中，PD=OPsin60°=2× = ，

∴S△ABP= ABPD= ×（4+2）× =3 ．

所以答案是2，3 ．

【考點精析】關于本題考查的等腰三角形的性質和勾股定理的概念，需要了解等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能得出正確答案．